Question

【題目】為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關系：C（x）= （0≤x≤10），若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．設f（x）為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和．
（1）求k的值及f（x）的表達式．
（2）隔熱層修建多厚時，總費用f（x）達到最小，并求最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設隔熱層厚度為xcm，由題設，每年能源消耗費用為 ．

再由C（0）=8，得k=40，

因此 ．

而建造費用為C1（x）=6x，

最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為

（2）解： ，令f'（x）=0，即 ．

解得x=5， （舍去）．

當0＜x＜5時，f′（x）＜0，當5＜x＜10時，f′（x）＞0，故x=5是f（x）的最小值點，對應的最小值為 ．

當隔熱層修建5cm厚時，總費用達到最小值為70萬元．

【解析】（1）由建筑物每年的能源消耗費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關系：C（x）= ，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．我們可得C（0）=8，得k=40，進而得到 ．建造費用為C1（x）=6x，則根據隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為f（x），我們不難得到f（x）的表達式．（2）由（1）中所求的f（x）的表達式，我們利用導數法，求出函數f（x）的單調性，然后根據函數單調性易求出總費用f（x）的最小值．