Question

已知β⊥α，γ⊥α，β∩γ=a，求證：a⊥α．

Answer 1

答案：
解析：

據(jù)已知畫出圖．設(shè)β∩α=AC，γ∩α=AB 欲證線面垂直，須找線線垂直，但現(xiàn)有的交線AB、AC不能用(為什么)，故需構(gòu)造作出．在α內(nèi)任取一點P，并在α內(nèi)作直線PM⊥AB，PN⊥AC．設(shè)法證明a⊥PM，a⊥PN就可以了，還可利用面面垂直的性質(zhì)定理，構(gòu)造作出平面a的垂線，再尋找a與新垂線的關(guān)系．途徑之一為：在a上任取一點P，過P作直線a′⊥a，證明a既在平面β內(nèi)又在平面γ內(nèi)，從而a′為β與γ的交線，則a′與a重合，得a⊥a；途徑之二為：在平面β內(nèi)作c⊥a，在平面γ內(nèi)作d⊥a，則c∥d，于是c∥γ，從而c∥a，故a⊥a．