Question

（22）

（Ⅰ）給出兩塊相同的正三角形紙片（如圖1，圖2），要求用其中一塊剪拼成一個正三棱錐模型，另一塊剪拼成一個正三棱柱模型，使它們的全面積都與原三角形的面積相等，請設計一種剪拼方法，分別用虛線標示在圖1、圖2中，并作簡要說明；

（Ⅱ）試比較你剪拼的正三棱錐與正三棱柱的體積的大小；

（Ⅲ）如果給出的是一塊任意三角形的紙片（如圖3），要求剪拼成一個直三棱柱模型，使它的全面積與給出的三角形的面積相等，請設計一種剪拼方法，用虛線標示在圖3中，并作簡要說明.

Answer 1

（22）本小題主要考查空間想象能力、動手操作能力、探究能力和靈活運用所學知識解決現實問題的能力.

解：

（Ⅰ）如圖1，沿正三角形三邊中點連線折起，可拼得一個正三棱錐.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

如圖2，正三角形三個角上剪出三個相同的四邊形，其較長的一組鄰邊邊長為三角形邊長的，有一組對角為直角.余下部分按虛線折起，可成為一個缺上底的正三棱柱，而剪出的三個相同的四邊形恰好拼成這個正三棱柱的上底.　　　　　　　　　　　　

 

（Ⅱ）依上面剪拼的方法，有V_柱＞V_錐.                     

推理如下：

設給出正三角形紙片的邊長為2，那么，正三棱錐與正三棱柱的底面都是邊長為1的正三角形，其面積為.現在計算它們的高：

h_錐==，

h_柱=tan30°=.

∴V_錐－V_柱=（h_錐－h_柱）·

=（－）·=＜0，

∴V_柱＞V_錐. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

 

（Ⅲ）如圖3，分別連結三角形的內心與各頂點，得到三條線段，再以這三條線段的中點為頂點作三角形.以新作的三角形為直三棱柱的底面，過新三角形的三個頂點向原三角形三邊作垂線，沿六條垂線剪下三個四邊形，可以拼接成直三棱柱的上底，余下部分按虛線折起，成為一個缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱模型.

注：考生如有其他的剪拼方法，可比照本標準評分.