已知a是實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=2ax2+2x-3-a,如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-1,1]上有零點(diǎn),求a的取值范圍.
解:若a=0,則函數(shù)f(x)=2x-3在區(qū)間[-1,1]上沒有零點(diǎn);
下面就a≠0時(shí)分三種情況討論:
(1)方程f(x)=0在區(qū)間[-1,1]上有重根,此時(shí)Δ=解得,
當(dāng)時(shí),f(x)=0的重根;
當(dāng)時(shí),f(x)=0的重根,
故當(dāng)方程f(x)=0在區(qū)間[-1,1]上有重根時(shí),
(2)f(x)在區(qū)間[-1,1]上只有一個(gè)零點(diǎn)且不是f(x)=0的重根,
此時(shí)有f(-1)f(1)≤0,
∵f(-1)=a-5,f(1)=a-1,
∴(a-5)(a-1)≤0,即1≤a≤5,
∵當(dāng)a=5時(shí),方程f(x)=0在區(qū)間[-1,1]上有兩個(gè)相異實(shí)根,
∴當(dāng)方程f(x)=0在區(qū)間[-1,1]上只有一個(gè)根且不是重根時(shí),1≤a<5;
(3)方程f(x)=0在區(qū)間[-1,1]上有兩相異實(shí)根,
因?yàn)楹瘮?shù),其圖象的對(duì)稱軸方程為,
a應(yīng)滿足:
或②,
解不等式組①得a≥5,
解不等式組②得,
故當(dāng)方程f(x)=0在區(qū)間[-1,1]上有兩個(gè)相異實(shí)根時(shí),,
注意到當(dāng)1≤a<5時(shí),f(-1)f(1)≤0,
方程f(x)=0在區(qū)間[-1,1]上有根;
當(dāng)時(shí),
由于f,且,方程f(x)=0在區(qū)間[-1,1]上有根;
當(dāng)a=時(shí),方程f(x)=0在區(qū)間[-1,1]上有根;
綜上所述,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-1,1]上有零點(diǎn),則a的取值范圍是(-∞,)∪(1,+∞)。
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43
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(1)若f(x)≤0在R上恒成立,求a的取值范圍.
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(2009•河西區(qū)二模)已知a是實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=x3-(a+
32
)x2
+2ax+1
(Ⅰ)若f′(2)=4,求a的值及曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程;
(Ⅱ)求f(x)在區(qū)間[1,4]上的最大值.

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