Question

二次函數(shù)y=x²+ax+1，當x∈[2，3]時y＞0恒成立，則a的取值范圍是（　　）

• A、(-

  5

  2

  ，+∞)
• B、(-

  5

  2

  ，-2)
• C、[-

  5

  2

  ，+∞)
• D、(-

  10

  3

  ，+∞)

Answer 1

分析：由x∈[2，3]時y＞0恒成立可得，a＞-

x2+1

x

在x∈[2，3]恒成立，構造函數(shù) g(x)=-

x2+1

x

，x∈[2，3]從而轉化為a＞g（x）_max結合函數(shù) g(x)=-

x2+1

x

=-(x+

1

x

)在x∈[2，3]單調性可求．

解答：解：∵二次函數(shù)y=x²+ax+1，當x∈[2，3]時y＞0恒成立
∴a＞-

x2+1

x

在x∈[3，4]恒成立，
令 g(x)=-

x2+1

x

，x∈[2，3]即a＞g（x）_max
而 g(x)=-

x2+1

x

=-(x+

1

x

)在x∈[2，3]單調遞減，
故g（x）在x=2時取得最大值-

5

2

則a的取值范圍是(-

5

2

，+∞)
故選A．

點評：本題主要考查了函數(shù)恒成立問題，此類問題常構造函數(shù)，轉化為求解函數(shù)的最值問題：a＞f（x）（或a＜f（x））恒成立?a＞f（x）_max（或a＜f（x）_min），體現(xiàn)了轉化思想在解題中的應用．