定義域為R的函數(shù)f(x)對于任意的x都存在實數(shù)a,b,使得f(a+x)f(b-x)=ab,則稱f(x)為“希望函數(shù)”.
(1)判斷函數(shù)f(x)=e
x
2
是否為“希望函數(shù)”;
(2)若函數(shù)f(x)=k•ex(k≠0)是“希望函數(shù)”,求實數(shù)k的取值范圍.
考點:抽象函數(shù)及其應(yīng)用
專題:計算題,新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析:(1)由新定義,只要判斷方程e
a+b
2
=e
a
2
e
b
2
=ab有沒有實數(shù)解,可由y=e
x
2
-x的最值,通過導(dǎo)數(shù),求出單調(diào)區(qū)間,得到極值和最值,即可判斷;
(2)由新定義,可得k•ea+x•k•eb-x=ab,即為k2•ea+b=ab有解,求出y=ex-x-1的最小值,得到ex≥x+1>x,運用不等式的性質(zhì),可得ab≥k2•ab,由ab>0,解不等式即可得到k的范圍.
解答: 解:(1)由于f(a+x)f(b-x)=e
a+x
2
e
b-x
2
=e
a+b
2
=e
a
2
e
b
2
,
由于y=e
x
2
-x的導(dǎo)數(shù)y′=
1
2
e
x
2
-1,當x>2ln2時,y′>0,函數(shù)y遞增;
當x<2ln2時,y′<0,函數(shù)y遞減.
則函數(shù)y=e
x
2
是在x=2ln2處取得極小值,也為最小值,且為2-2ln2>0,
即有e
x
2
>x恒成立,則e
a
2
>a
,e
b
2
>b
,
則方程e
a+b
2
=e
a
2
e
b
2
=ab無實數(shù)解,
故函數(shù)f(x)=e
x
2
不為“希望函數(shù)”;
(2)f(x)=k•ex(k≠0)是“希望函數(shù)”,則
對于任意的x都存在實數(shù)a,b,使得f(a+x)f(b-x)=ab,
即為k•ea+x•k•eb-x=ab,即為k2•ea+b=ab有解,
由于y=ex-x-1的導(dǎo)數(shù)為y′=ex-1,當x>0時,y′>0,函數(shù)y遞增;
當x<0時,y′<0,函數(shù)y遞減.
則函數(shù)y在x=0處取得極小值,也為最小值,且為0.
即有ex≥x+1>x,則有k2•eaeb≥k2•ab,
則有ab≥k2•ab,由ab>0,即為k2≤1,
解得,-1≤k≤1.
則實數(shù)k的取值范圍是[-1,1].
點評:本題考查新定義的理解和運用,考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的運用:求極值和最值,考查函數(shù)與方程的關(guān)系,考查運算能力,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知cosα=
1
3
,cos(α+β)=-
1
3
,且α、β∈(0,
π
2
),則cos(α-β)=(  )
A、-
10
2
27
B、-
2
2
3
C、
23
27
D、-
9
27

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
-
1
2
x+
1
4
,x∈[0,
1
2
]
2x2
x+2
,x∈(
1
2
,1]
,g(x)=asin(
π
3
x+
2
)-2a+2(a>0),給出下列結(jié)論,其中所有正確的結(jié)論的序號是( 。
①直線x=3是函數(shù)g(x)的一條對稱軸;         
②函數(shù)f(x)的值域為[0,
2
3
];
③若存在x1,x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2),則實數(shù)a的取值范圍是[
4
9
,
4
5
];
④對任意a>0,方程f(x)=g(x)在[0,1]內(nèi)恒有解.
A、①②B、①②③
C、①③④D、①②④

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

圓錐曲線C的一個焦點是F(0,1),相應(yīng)的準線方程為y+1=0,且曲線C經(jīng)過點(2,3),則曲線C的形狀是
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知等腰三角形底邊的兩個端點是A(-1,-1),B(3,7),則第三個頂點C的軌跡方程(  )
A、2x+y-7=0
B、2x+y-7=0(x≠1)
C、x+2y-7=0
D、x+2y-7=0(x≠1)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

7位同學站成一排,按下列要求,各有多少不同排法,
(1)甲站在某一固定位置;
(2)甲站中間,乙與甲相鄰;
(3)甲、乙相鄰;
(4)甲、乙兩人不相鄰;
(5)甲、乙、丙三人相鄰;
(6)甲、乙、丙三人中任何兩人都不相鄰.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

函數(shù)f(x)=log2|2x-1|的圖象大致是( 。
A、
B、
C、
D、

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

關(guān)于函數(shù)f(x)=sin2x-(
2
3
|x|+
1
2
有如下四個結(jié)論:①f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱;②f(x)的值域是(-
1
2
,
3
2
);③當x∈(0,
π
2
)時,f(x)為增函數(shù);④f(x)在R上有且只有一個零點,則正確結(jié)論的個數(shù)是( 。
A、1B、2C、3D、4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設(shè)M={平面內(nèi)的點(a,b)},N={f(x)|f(x)=acos2x+bsin2x},給出M到N的映射f:(a,b)→f(x)=acos2x+bsin2x,則點(1,
3
)的象f(x)的最小正周期為(  )
A、
π
2
B、
π
4
C、π
D、2π

查看答案和解析>>

同步練習冊答案