已知
x-y+2≥0
x+y-4≥0
2x-y-5≤0
求:
(Ⅰ)z=x+2y-4的最大值;
(Ⅱ)z=x2+y2-10y+25的最小值;
(Ⅲ)z=
2y+1
x+1
的范圍.
考點(diǎn):簡單線性規(guī)劃
專題:不等式的解法及應(yīng)用
分析:(Ⅰ)作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域利用z=x+2y-4的幾何意義,即可求最大值;
(Ⅱ)z=x2+y2-10y+25的幾何意義為兩點(diǎn)間的距離的平方;
(Ⅲ)z=
2y+1
x+1
=2•
y+
1
2
x+1
的幾何意義為兩點(diǎn)之間斜率的取值范圍.
解答: 解:(Ⅰ)作出可行域如圖所示,并求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)A(1,3)、B(3,1)、C(7,9).
易知可行域內(nèi)各點(diǎn)均在直線x+2y-4=0的上方,故x+2y-4>0,
將點(diǎn)C(7,9)代入z得最大值為21.(紅線部分)
(Ⅱ)z=x2+y2-10y+25=x2+(y-5)2表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)(x,y)到定點(diǎn)M(0,5)的距離的平方,
過M作直線AC的垂線,易知垂足N在線段AC上,
故z的最小值是|MN|2=
9
2
.(綠線部分)
(Ⅲ)z=
2y+1
x+1
=2•
y+
1
2
x+1
的幾何意義表示為區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P(x,y)與定點(diǎn)D(-1,-
1
2
)連線斜率的2倍.
由圖象可知DA的斜率最小為k=
7
4
,DB的斜率最大為k=
3
8

3
8
≤k≤
7
4
,
3
4
≤2k≤
7
2
,(藍(lán)色線部分)
即z的取值范圍是[
3
4
7
2
].
點(diǎn)評(píng):本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.要求熟練掌握常見目標(biāo)函數(shù)的幾何意義.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

以下命題:
|
a
|+|
b
|=|
a
+
b
|
a
,
b
共線的充要條件;
②空間任意一點(diǎn)O與不共線三點(diǎn)A,B,C滿足
OP
=2
OA
+3
OB
-4
OC
,則P,A,B,C四點(diǎn)共面;
③若兩平面的法向量不垂直,則這兩個(gè)平面一定不垂直.
其中正確的命題是( �。�
A、②B、①②C、②③D、①②③

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x-
a
x
-lnx,a>0.
(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)若f(x)>x-x2在(1,+∞)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)過點(diǎn)(0,1),其長軸、焦距和短軸的長的平方依次成等差數(shù)列.直線l與x軸正半軸和y軸分別交于點(diǎn)Q、P,與橢圓分別交于點(diǎn)M、N,各點(diǎn)均不重合且滿足
PM
=λ1
MQ
,
PN
=λ2
NQ

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若λ12=-3,試證明:直線l過定點(diǎn)并求此定點(diǎn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

求由約束條件
x+y≤5
2x+y≤6
x≥0,y≥0
確定的平面區(qū)域的面積S和目標(biāo)函數(shù)z=4x+3y的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知g(x)=-x2-4,f(x)為二次函數(shù),滿足f(x)+g(x)+f(-x)+g(-x)=0,且f(x)在[-1,2]上的最大值為7,則f(x)=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

有下列說法:
①Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若Sn=n2+n+1,則數(shù)列{an}是等差數(shù)列;
②若實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2=4,則
xy
x+y-2
的最小值是1-
2
;
③在△ABC中,a,b,c分別是角A、B、C的對(duì)邊,若acosA=bcosB,則△ABC 為等腰直角三角形;
④△ABC中,“A>B”是“sinA>sinB”的充要條件.
其中正確的有
 
.(填上所有正確命題的序號(hào))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2,實(shí)軸長為1,P是雙曲線右支上的一點(diǎn),滿足|PF1|=3,M是y軸上的一點(diǎn),則
PM
•(
PF1
-
PF2
)=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長分別為a,b,c,則下列命題正確的是
 
(寫出所有正確命題的編號(hào)).
①若ab>c2,則C<
π
3
;    
②若(a+b)c<2ab,則C>
π
2

③若a3+b3=c3,則C<
π
2
;
④若a+b>2c,則C<
π
3
;
⑤若(a2+b2)c2<2a2b2,則C>
π
3

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