考點(diǎn):簡單線性規(guī)劃
專題:不等式的解法及應(yīng)用
分析:(Ⅰ)作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域利用z=x+2y-4的幾何意義,即可求最大值;
(Ⅱ)z=x
2+y
2-10y+25的幾何意義為兩點(diǎn)間的距離的平方;
(Ⅲ)z=
=
2•的幾何意義為兩點(diǎn)之間斜率的取值范圍.
解答:
解:(Ⅰ)作出可行域如圖所示,并求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)A(1,3)、B(3,1)、C(7,9).
易知可行域內(nèi)各點(diǎn)均在直線x+2y-4=0的上方,故x+2y-4>0,
將點(diǎn)C(7,9)代入z得最大值為21
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.(紅線部分)
(Ⅱ)z=x
2+y
2-10y+25=x
2+(y-5)
2表示可行域內(nèi)任一點(diǎn)(x,y)到定點(diǎn)M(0,5)的距離的平方,
過M作直線AC的垂線,易知垂足N在線段AC上,
故z的最小值是|MN|
2=
.(綠線部分)
(Ⅲ)z=
=
2•的幾何意義表示為區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P(x,y)與定點(diǎn)D(-1,
-)連線斜率的2倍.
由圖象可知DA的斜率最小為k=
,DB的斜率最大為k=
,
即
≤k≤,
即
≤2k≤,(藍(lán)色線部分)
即z的取值范圍是[
,].
點(diǎn)評(píng):本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.要求熟練掌握常見目標(biāo)函數(shù)的幾何意義.