如圖,⊙O的直徑AB=4,點C、D為⊙O上兩點,且∠CA B=45o,∠DAB=60o,F為的中點.沿直徑AB折起,使兩個半圓所在平面互相垂直(如圖).
(1)求證:OF//平面ACD;
(2)求二面角C- AD-B的余弦值;
(3)在上是否存在點G,使得FG∥平面ACD?若存在,試指出點G的位置,并求直線AG與平面ACD所成角的正弦值;若不存在,請說明理由.
(1)只需證;(2)
;(3)
。
【解析】
試題分析:(法一):證明:(1)如右圖,連接,
,
,
又為
的中點,
,
.
平面
,
平面
,
平面
.3分
解:(2)過作
于
,連
.
,平面
⊥平面
.
⊥平面
.
又平面
,
,
平面
,
,
則∠是二面角
的平面角. 5分
,
,
.
由⊥平面
,
平面
,得
為直角三角形,
,
.
=
=
. 8分
(3)設在上存在點
,使得
//平面
,
平面
,
平面
平面
,
,
.
因此,在上存在點
,使得
//平面
,且點
為
的中點.10分
連,設
與平面
所成角為
,點
到平面
的距離為
.
=
=
=
,
=
=
,
由
=
,得
=
,得
. 12分
在中,
,
,由余弦定理得
=
,13分
=
.
14分
(法二):證明:(1)如圖,以所在的直線為
軸,以
所在的直線為
軸,以
為原點,作空間直角坐標系
,則
,
.
,
點
為
的中點,
點
的坐標為
,
.
,即
.
平面
,
平面
,
平面
.
3分
解:(2),
點
的坐標
,
.
設二面角的大小為
,
為平面
的一個法向量.
由 有
即
取,解得
,
.
=
.
5分
取平面的一個法向量
=
, 6分
.8分
(3)設在上存在點
,使得
//平面
,
平面
,
平面
平面
,則有
.
設,
,
.
又,
,解得
(舍去
).
,則
為
的中點.
因此,在上存在點
,使得
//平面
,且點
為
的中點.11分
設直線與平面
所成角為
,
,
根據(2)的計算為平面
的一個法向量,
.
因此,直線與平面
所成角的正弦值為
. 14分
考點:線面角;二面角;面面垂直的性質定理;線面平行的判定定理、
點評:(1)本題主要考察空間點、線、面位置關系,線面角、二面角等基礎知識,考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力,考查用向量方法解決數學問題的能力.(2)二面角的求法是立體幾何中的一個難點。我們解決此類問題常用的方法有兩種:①綜合法,綜合法的一般步驟是:一作二說三求。②向量法,運用向量法求二面角應注意的是計算。很多同學都會應用向量法求二面角,但結果往往求不對,出現的問題就是計算錯誤。
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