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如圖,⊙O的直徑AB=4,點C、D為⊙O上兩點,且∠CA B=45o,∠DAB=60o,F為的中點.沿直徑AB折起,使兩個半圓所在平面互相垂直(如圖).

(1)求證:OF//平面ACD;

(2)求二面角C- AD-B的余弦值;

(3)在上是否存在點G,使得FG∥平面ACD?若存在,試指出點G的位置,并求直線AG與平面ACD所成角的正弦值;若不存在,請說明理由.

 

【答案】

(1)只需證;(2);(3)

【解析】

試題分析:(法一):證明:(1)如右圖,連接,     

,,

的中點,

平面,平面

平面.3分

解:(2)過,連.     

,平面⊥平面.    

⊥平面

平面

,

平面,

則∠是二面角的平面角.       5分

,

⊥平面,平面,得為直角三角形,

,

==.  8分

(3)設在上存在點,使得//平面,

平面平面平面,

因此,在上存在點,使得//平面,且點的中點.10分

,設與平面所成角為,點到平面的距離為

===,==,

=,得=,得.   12分

中,,,由余弦定理得=,13分

=.           14分

(法二):證明:(1)如圖,以所在的直線為軸,以所在的直線為軸,以為原點,作空間直角坐標系,則,

,

的中點,的坐標為

,即

平面,平面

平面.       3分

解:(2),的坐標,

設二面角的大小為,為平面的一個法向量.

 有 即

,解得,

=.                  5分

取平面的一個法向量=,   6分

.8分

(3)設在上存在點,使得//平面,

平面,

平面平面,則有

,,

,,解得(舍去).

,則的中點.

因此,在上存在點,使得//平面,且點的中點.11分

設直線與平面所成角為,

,

根據(2)的計算為平面的一個法向量,

因此,直線與平面所成角的正弦值為.   14分

考點:線面角;二面角;面面垂直的性質定理;線面平行的判定定理、

點評:(1)本題主要考察空間點、線、面位置關系,線面角、二面角等基礎知識,考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力,考查用向量方法解決數學問題的能力.(2)二面角的求法是立體幾何中的一個難點。我們解決此類問題常用的方法有兩種:①綜合法,綜合法的一般步驟是:一作二說三求。②向量法,運用向量法求二面角應注意的是計算。很多同學都會應用向量法求二面角,但結果往往求不對,出現的問題就是計算錯誤。

 

練習冊系列答案
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A.(不等式選做題)不等式|x+1|-|x-3|≥0的解集是
{x|x≥1}
{x|x≥1}

B.(幾何證明選做題) 如圖,⊙O的直徑AB=6cm,P是延長線上的一點,過點P作⊙O的切線,切點為C,連接AC,若∠CAP=30°,則PC=
3
3
3
3

C.(極坐標系與參數方程選做題)在極坐標系中,已知曲線ρ=2cosθ與直線3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切,則實數a的值為
2或-8
2或-8

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(考生注意:請在下列三題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題評閱記分.)
A.設函數f(x)=|2x+1|-|x-4|.則不等式f(x)>2的解集為
{x|x<-7或x>
5
3
}
{x|x<-7或x>
5
3
}
;
B.(坐標系與參數方程選做題)曲線C:
x=-2+2cosα
y=2sinα
(α為參數),若以點O(0,0)為極點,x正半軸為極軸建立極坐標系,則該曲線的極坐標方程是
ρ=-4cosθ
ρ=-4cosθ


C.(幾何證明選講選做題) 如圖,⊙O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線相交于點P,E為⊙O上一點,弧AE=弧AC,DE交AB于F,且AB=2BP=4,則PF=
3
3

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