Question

已知在四棱錐P-ABCD，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E，F分別是線段PA，BC的中點．
（1）證明：BE∥平面PDF；
（2）證明：PF⊥FD；
（3）若PA=2，求直線PD與平面PAF所成的角．

Answer 1

分析：（1）以AB為x軸，以AD為y軸，以AP為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面PFD的法向量

n

和向量

BE

，由

n

•

BE

=0，能夠證明BE∥平面PDF．
（2）在空間直角坐標系中，分別求出直線PF與FD的平行向量，然后根據兩個向量的數量積為0，得到PF⊥FD．
（3）求出平面PAF的法向量及PD的方向向量，利用向量法能求出直線PD與平面PAF所成的角．

解答：解：（1）∵PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，
∴以AB為x軸，以AD為y軸，以AP為z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz，
∵AB=1，AD=2，
∴A（0，0，0），B（1，0，0），F（1，1，0），D（0，2，0）．
不妨令P（0，0，t），則E（0，0，

t

2

），
∴

PF

=（1，1，-t），

DF

=（1，-1，0），

BE

=（-1，0，

t

2

），
設平面PFD的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n • PF =0 n • DF =0

，∴

x+y-tz=0 x-y=0

，
令z=1，解得：x=y=

t

2

，
∴

n

=(

t

2

，

t

2

，1)，
∴

BE

•

n

=-

t

2

+0+

t

2

=0，
∴

BE

⊥

n

，
∵BE不包含于平面PDF，
∴BE∥平面PDF．
（2）∵

PF

=（1，1，-t），

DF

=（1，-1，0），
∴

PF

•

DF

=1×1+1×（-1）+（-t）×0=0，
∴

PF

⊥

DF

，
∴PF⊥FD．
（3）當PA=2時，P（0，0，2），A（0，0，0），
F（1，1，0），D（0，2，0），
∴

AP

=（0，0，2），

AF

=（1，1，0），

PD

=（0，2，-2），
設平面PAF的法向量為

m

=(x1，y1，z1)，
則

AP

•

m

=0，

AF

•

m

=0，
∴

2z1=0 x1+y1=0

，取x₁=1，得

m

=(1，-1，0)，
設直線PD與平面PAF所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜

m

，

PD

＞|=|

0-2+0

4+4 • 1+1

|=

1

2

，
∴θ=

π

6

，
∴直線PD與平面PAF所成的角為

π

6

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查兩條異面直線垂直的證明，考查直線與平面所成角的求法，解題時要恰當地建立空間直角坐標系，利用向量法求解．