Question

設(shè)實系數(shù)三次多項式P（x）=x³+ax²+bx+c有三個非零實數(shù)根．求證：6a³+10（a²-2b） 

3

2

-12ab≥27c．

Answer 1

考點：不等式的證明

專題：證明題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：設(shè)α，β，γ為p（x）=0的三個根，由根與系數(shù)關(guān)系α+β+γ=-a，αβ+βγ+γα=b，αβγ=-c得：a²-2b=α²+β²+γ²．原式可變形為6（α+β+γ）（α²+β²+γ²）-10（α²+β²+γ²） 

3

2

≤27αβγ，分類討論，不妨設(shè)α²+β²+γ²=9，則γ²≥3，2αβ≤α²+β²=9-γ²≤6．①變形為2（α+β+γ）-αβγ≤10，即可得出結(jié)論．

解答： 證明：設(shè)α，β，γ為p（x）=0的三個根，由根與系數(shù)關(guān)系α+β+γ=-a，αβ+βγ+γα=b，αβγ=-c
得：a²-2b=α²+β²+γ²．
原式可變形為6（α+β+γ）（α²+β²+γ²）-10（α²+β²+γ²） 

3

2

≤27αβγ ①．
若α²+β²+γ²=0，則①成立．
若α²+β²+γ²＞0，不妨設(shè)|α|≤|β|≤|γ|，
由①的齊次性，不妨設(shè)α²+β²+γ²=9，則γ²≥3，2αβ≤α²+β²=9-γ²≤6．
①變形為2（α+β+γ）-αβγ≤10．
因[2（α+β+γ）-αβγ]²=[2（α+β）+（2-αβ）γ²]≤[4+（2-αβ）²][（α+β）²+γ²]
=（αβ+2）²（2αβ-7）+100≤100，
所以，2（α+β+γ）-αβγ≤10．故原式成立．

點評：本題考查不等式的證明，考查學生分析解決問題的能力，難度大．