【題目】已知橢圓的上頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，是等腰直角三角形，且周長(zhǎng)為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線(xiàn)l與AF垂直，且交橢圓于B，C兩點(diǎn)，求面積的最大值.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）依題意求出，，的值，即可求出橢圓方程；

（2）由（1）可得直線(xiàn)的斜率，則可設(shè)直線(xiàn)的方程為，

聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，利用根的判別式求出參數(shù)的范圍，設(shè)，，利用韋達(dá)定理及點(diǎn)到線(xiàn)的距離公式表示出及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，則利用導(dǎo)數(shù)求出面積的最值；

解：（1）在中，，，則，

因?yàn)?/span>是等腰直角三角形，且周長(zhǎng)為，

所以，，，

得，，

因此橢圓的方程為.

（2）由（1）知，，則直線(xiàn)的斜率，

因?yàn)橹本€(xiàn)與垂直，所以可設(shè)直線(xiàn)的方程為，

代入，得，

則，解得，

所以.

設(shè)，，則，，.

又點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，

所以，.

令，

則，

令，則或，

令，則或.

因此在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，

在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).

因?yàn)?/span>，，，

所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，，

所以，

因此面積的最大值是.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，且圓心在直線(xiàn)上.

（Ⅰ）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與圓相交所得弦長(zhǎng)為，求直線(xiàn)的方程.

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【題目】已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且在y軸上截得的弦MN的長(zhǎng)為8．

（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；

（2）已知點(diǎn)，長(zhǎng)為的線(xiàn)段PQ的兩端點(diǎn)在軌跡C上滑動(dòng)．當(dāng)軸是的角平分線(xiàn)時(shí)，求直線(xiàn)PQ的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn)，其中在第一象限，是橢圓上一點(diǎn).

（1）記、是橢圓的左右焦點(diǎn)，若直線(xiàn)過(guò)，當(dāng)到的距離與到直線(xiàn)的距離相等時(shí)，求點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，當(dāng)的面積最大時(shí)，求直線(xiàn)的方程；

（3）設(shè)直線(xiàn)和與軸分別交于，證明：為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在極坐標(biāo)系中，已知曲線(xiàn)：和曲線(xiàn)：，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為軸非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系.

（1）求曲線(xiàn)和曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；

（2）若點(diǎn)是曲線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作線(xiàn)段的垂線(xiàn)交曲線(xiàn)于點(diǎn)，求線(xiàn)段長(zhǎng)度的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，過(guò)極點(diǎn)的兩射線(xiàn)、相互垂直，與曲線(xiàn)C分別相交于A、B兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)O），且的傾斜角為銳角.

（1）求曲線(xiàn)C和射線(xiàn)的極坐標(biāo)方程；

（2）求△OAB的面積的最小值，并求此時(shí)的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),且離心率為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)任作一條直線(xiàn)與橢圓交于不同的兩點(diǎn).在軸上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知不等式|2x-1|+|2x-2|＜x+3的解集是A．

（Ⅰ）求集合A；

（Ⅱ）設(shè)x，y∈A，對(duì)任意a∈R，求證：xy（||x+a|-|y+a||）＜x2+y2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，圓，點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)與圓交于點(diǎn)，過(guò)做直線(xiàn)平行交于點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）過(guò)的直線(xiàn)與交于、兩點(diǎn)，若線(xiàn)段的中點(diǎn)為，且，求四邊形面積的最大值．

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