Question

已知函數(shù)f（x）=（2-a）lnx+

1

x

+2ax
（1）當a=0，求f（x）的極值
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當a=0時，f（x）=2lnx+

1

x

，求導，令f′（x）=0，解方程，分析導數(shù)的變化情況，確定函數(shù)的極值；
（Ⅱ）分類討論，求導，對導數(shù)因式分解，比較兩根的大小，確定函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）依題意知f（x）的定義域為（0，+∞），
當a=0時，f（x）=2lnx+

1

x

，f′（x）=

2x-1

x2

，
令f′（x）=0，解得x=

1

2

，
當0＜x＜

1

2

時，f′（x）＜0；
當x≥

1

2

時，f′（x）＞0
又∵f（

1

2

）=2-ln2
∴f（x）的極小值為2-2ln2，無極大值．
（Ⅱ）f′（x）=

2ax2+(2-a)x-1

x2

當a＞0時，令f′（x）＜0 得-

1

a

＜x＜

1

2

，令f′（x）＞0 得0＜x＜-

1

a

或x＞

1

2

，
當a＜-2時，-

1

a

＜

1

2

，
令f′（x）＜0 得 0＜x＜-

1

a

或x＞

1

2

，
令f′（x）＞0 得-

1

a

＜x＜

1

2

；
當-2＜a＜0時，得-

1

a

＞

1

2

，
令f′（x）＜0 得 0＜x＜

1

2

或x＞-

1

a

，
令f′（x）＞0 得

1

2

＜x＜-

1

a

；
當a=-2時，f′（x）=-

(2x-1)2

x2

≤0，
綜上所述，當a＞0時，遞減區(qū)間為（-

1

a

，

1

2

）；遞增區(qū)間為（0，-

1

a

）和（

1

2

，+∞）；
當a=0時，遞減區(qū)間為（0，

1

2

）；遞增區(qū)間為（

1

2

，+∞）；
當a＜-2時，f（x）的遞減區(qū)間為（0，-

1

a

）和（

1

2

，+∞），遞增區(qū)間為（-

1

a

，

1

2

）；
當a=-2時，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減；
當-2＜a＜0時，f（x）的遞減區(qū)間為（0，

1

2

）和（-

1

a

，+∞），遞增區(qū)間為（

1

2

，-

1

a

）．

點評：考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、單調(diào)性問題，在求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，體現(xiàn)了分類討論的思想方法，屬難題．