Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab（a≠0），當(dāng)x∈（-3，2）時(shí)，f（x）＞0；當(dāng)x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）時(shí)，f（x）＜0．
（1）求f（x）在[0，1]內(nèi)的值域；
（2）c為何值時(shí)，不等式ax²+bx+c≤0在[1，4]上恒成立．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab（a≠0），有兩個(gè)未知參數(shù)，進(jìn)而分析由x∈（-3，2）時(shí)，f（x）＞0；當(dāng)x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）時(shí)，f（x）＜0．可知x=-3和x=2是函數(shù)f（x）的零點(diǎn)，由此可以得到兩個(gè)參數(shù)的兩個(gè)方程，解此兩方程求出a，b的值．
（1）f（x）在[0，1]內(nèi)是減函數(shù)，由單調(diào)性求出兩端點(diǎn)，即可得到值域．
（2）構(gòu)造函數(shù)g（x）=-3x²+5x+C，不等式ax²+bx+c≤0在[1，4]上恒成立，由于函數(shù)g（x）在[1，4]上是減函數(shù)，故一定有
g（1）≤0，由此不等式可以解出c的取值范圍．

解答：解：由題意得x=-3和x=2是函數(shù)f（x）的零點(diǎn)且a≠0，則

0=a×(-3)2+(b-8)×(-3)-a-ab 0=a×22+(b-8)×2-a-ab

解得

a=-3 b=5

∴f（x）=-3x²-3x+18．
（1）由圖象知，函數(shù)在[0，1]內(nèi)單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=18；
當(dāng)x=1時(shí)，y=12，
∴f（x）在[0，1]內(nèi)的值域?yàn)閇12，18]．
（2）令g（x）=-3x²+5x+C、
∵g（x）在[

5

6

，+∞）上單調(diào)遞減，要使g（x）≤0在[1，4]上恒成立，則需要g（1）≤0．
即-3+5+c≤0，解得c≤-2，
∴當(dāng)c≤-2時(shí)，不等式ax²+bx+c≤0在[1，4]上恒成立．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，單調(diào)性、零點(diǎn)，方程根與零點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系，綜合性強(qiáng)．