Question

已知S_n為數列{a_n}的前n項和，且滿足S_n=2a_n-n²+3n+2（n∈N^*）
（Ⅰ）求證：數列{a_n+2n}是等比數列；
（Ⅱ）設b_n=a_nsin

2n+1

2

π，求數列{b_n}的前n項和；
（Ⅲ）設C_n=-

1

an+n

，數列{C_n}的前n項和為P_n，求證：P_n＜

5

6

．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,等比關系的確定,數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（I）利用遞推式可得：a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1-2n+4，變形為a_n+2n=2[a_n-1+2（n-1）]，即可證明；
（II）由（I）可得a_n=-2×2^n-1-2n=-2ⁿ-2n．可得b_n=a_nsin

2n+1

2

π=-（2ⁿ+2n）•sin

2n+1

2

π，由于sin

2n+1

2

π=sin(nπ+

π

2

)=（-1）ⁿ，于是b_n=（-1）ⁿ⁺¹（2ⁿ+2n）．對n分類討論即可得出．
（III）C_n=-

1

an+n

=

1

2n+n

，當n≥2時，c_n＜

1

2n

．再利用等比數列的前n項和公式即可證明．

解答： （I）證明：由S_n=2a_n-n²+3n+2（n∈N^*），∴當n≥2時，Sn-1=2an-1-(n-1)2+3(n-1)+2，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1-2n+4，
變形為a_n+2n=2[a_n-1+2（n-1）]，當n=1時，a₁=S₁=2a₁-1+3+2，解得a₁=-4，∴a₁+2=-2，∴數列{a_n+2n}是等比數列，首項為-2，公比為2；
（II）解：由（I）可得a_n=-2×2^n-1-2n=-2ⁿ-2n．
∴b_n=a_nsin

2n+1

2

π=-（2ⁿ+2n）•sin

2n+1

2

π，∵sin

2n+1

2

π=sin(nπ+

π

2

)=（-1）ⁿ，
∴b_n=（-1）ⁿ⁺¹（2ⁿ+2n）．
設數列{b_n}的前n項和為T_n．
當n=2k（k∈N^*）時，T_2k=（2-2²+2³-2⁴+…+2^2k-1-2^2k）+2（1-2+3-4+…+2k-1-2k）
=

2[1-(-2)2k]

1-(-2)

-2k=

2(1-2n)

3

-n．
當n=2k-1時，T_2k-1=

2(1-22k)

3

-2k-（-2^2k-4k）=

2(1-2n+1)

3

+n+1+2ⁿ⁺¹=

2+2n+1

3

+n+1．
（III）證明：C_n=-

1

an+n

=

1

2n+n

，當n≥2時，c_n＜

1

2n

．
∴數列{C_n}的前n項和為P_n＜

1

3

+

1 4 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

=

1

3

+

1

2

=

5

6

，
當n=1時，c₁=

1

3

＜

5

6

成立．
綜上可得：?n∈N^*，Pn＜

5

6

．

點評：本題考查了等差數列與等比數列的通項公式及其前n項和公式、“放縮法”、三角函數的誘導公式、遞推式的應用，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．