Question

已知圓C：（x-1）²+（y-2）²=25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）．
（Ⅰ）求證：無論m取什么實數，直線l都過定點，并寫出這個定點的坐標；
（Ⅱ）求直線l被圓C截得的弦長最短時l的方程．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：直線與圓

分析：（1）先將直線方程整理成f₁（x）+λf₂（x）=0的形式，然后通過解方程即可求出其交點．
（2）易知，當定點與圓心連線垂直于該直線時，弦長最短，據此求出直線l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）證明：∵直線l的方程等價于（2x+y-7）m+x+y-4=0（1）．
令2x+y-7=0，則由x+y-4=0
∴

2x+y-7=0 x+y-4=0

，解得 

x=3 y=1

，
∴點（3，1）的坐標使方程（1）恒成立．
∴無論m取什么實數，直線l都過定點，定點的坐標為（3，1）．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，直線恒過定點P（3，1）．

當x=3，y=1時，（x-1）²+（y-2）²=（3-1）²+（1-2）²＜25
∴點P在圓C內．由圖知，r²-d²=(

AB

2

)2．r是定值5．
∴當d取最大值時，AB最短．
又l⊥CP時，d取最大值．此時k_CP=-

1

2

，k_l=2．
∴l(xiāng)的方程為y-1=2（x-3），即2x-y-5=0．

點評：本題考查了交點直線系方程的特點及其應用，同時研究了直線與圓的相交弦問題，此類問題一般是結合垂徑定理進行研究，即半徑、弦心距、二分之一弦長符合勾股定理．由此進一步進行分析．