Question

設(shè)一家公司開業(yè)后每年的利潤為a_n萬元，前n年的總利潤為S_n萬元，現(xiàn)知第一年的利潤為2萬元，且點（S_n，S_n+1）在函數(shù)f（x）=2x+n+1（n∈N^*）圖象上．
（1）求證：數(shù)列{a_n+1}（n＞1）是等比數(shù)列；
（2）若b₁=1，（n≥2），求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n（n∈N^*）．

Answer 1

解：（1）由題意有：S_n+1=2S_n+n+1，
所以S_n=2S_n-1+n（n≥2），
兩式相減得 a_n+1=2a_n+1（n≥2），（3分）
所以 （n≥2），（5分）
所以數(shù)列{a_n+1}（n≥2）是公比為2的等比數(shù)列．（6分）
（2）因為S₂=2S₁+2=6，
所以 a₂=S₂-S₁=6-2=4，
所以=5×2^n-2，（n≥2），
∴，（9分）
因為，
所以（n≥2），（11分）
．（13分）
分析：（1）由題意有：S_n+1=2S_n+n+1，所以S_n=2S_n-1+n（n≥2），兩式相減得 a_n+1=2a_n+1（n≥2），由此能夠證明數(shù)列{a_n+1}（n≥2）是等比數(shù)列．
（2）因為S₂=2S₁+2=6，所以 a₂=S₂-S₁=6-2=4，故，因為，所以（n≥2），由此能求出數(shù)列{b_n}的前n項和T_n（n∈N^*）．
點評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項和的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意裂項求和法的合理運用．