Question

在數列中，，且前n項的算術平均數等于第n項的倍（）.

（1）寫出此數列的前5項；

（2）歸納猜想的通項公式，并用數學歸納法證明.

 

Answer 1

（1）；（2），證明過程詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據條件中描述前項的算術平均數等于第項的倍，可以得到相應其數學表達式為，結合，分別取，

得，

；（2）根據（1）中所求，可以猜測，利用數學歸納法，假設當時，結論成立，則當時，根據（1）中得到的式子，令，可以求得，即當時，猜想也成立，從而得證.

（1）由已知，分別取，

得，

；

∴數列的前5項是： 6分；

（2）由（1）中的分析可以猜想 8分，

下面用數學歸納法證明：

①當時，猜想顯然成立 9分，

②假設當時猜想成立，

即 10分，

那么由已知，得，

即.∴，

即，又由歸納假設，得，

∴，即當時，猜想也成立.

綜上①和②知，對一切，都有成立 13分．

考點：1.數列的通項公式；2.數學歸納法.