Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2（a-1）x+3（a∈R）．
（1）討論f（x）的奇偶性；
（2）求f（x）在區(qū)間[-1，3]上的最小值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）由于二次函數(shù)f（x）=x²-2（a-1）x+3的對稱軸為 x=a-1，分a=1時、和a≠1時兩種情況，分別討論函數(shù)的奇偶性．
（2）分當a-1＜-1時、當-1≤a-1≤3時、當a-1＞3時三種情況，分別根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)在區(qū)間[-1，3]上的最小值．

解答： 解：（1）由于二次函數(shù)f（x）=x²-2（a-1）x+3的對稱軸為 x=a-1，故當a=1時，函數(shù)的圖象關于y軸對稱，函數(shù)為偶函數(shù)；
當a≠1時，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)．
（2）當a-1＜-1時，即a＜0時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，3]上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間[-1，3]上的最小值為f（-1）=2a+2．
當-1≤a-1≤3時，即0≤a≤4時，函數(shù)在區(qū)間[-1，3]上的最小值為f（a-1）=2+2a-a²．
當a-1＞3時，即a＞4 時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，3]上單調(diào)遞減，故函數(shù)在區(qū)間[-1，3]上的最小值為f（3）=18-6a．
綜上，當a＜0時，f（x）在區(qū)間[-1，3]上的最小值為f（-1）=2a+2； 當0≤a≤4時，函數(shù)在區(qū)間[-1，3]上的最小值為f（a-1）=2+2a-a²；
當a＞4 時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，3]上的最小值為f（3）=18-6a．

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷方法，求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．