Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為b_n，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)積為c_n，且恒有b_n+c_n=1，則數(shù)列{}中最接近2011的是第    項(xiàng)．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，依次求出數(shù)列{a_n}的前幾項(xiàng)，進(jìn)而歸納出{a_n}的通項(xiàng)公式，具體為當(dāng)n=1時(shí)，有a₁=b₁，b₁=c₁，則a₁=b₁=c₁，又由b_n+c_n=1，則b₁=c₁=，進(jìn)而可得a₁=；n=2時(shí)，有b₂+c₂=1，即b₂+b₁b₂=1，又由b₁的值，可得b₂的值，結(jié)合b₂=a₁+a₂，可得a₂=；同理可得a₃=；a₄=；可以歸納出a_n=；令n（n+1）=2011；解可得n≈44.3；即最接近2011的是與，計(jì)算兩者的大小，比較可得答案．
解答：解：根據(jù)題意，有b_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，c_n=b₁×b₂×b₃×…×b_n，
n=1時(shí)，有a₁=b₁，b₁=c₁，則a₁=b₁=c₁，
又由b_n+c_n=1，則b₁=c₁=，進(jìn)而可得a₁=；
n=2時(shí)，有b₂+c₂=1，即b₂+b₁b₂=1，又由b₁=，
易得b₂=，
又由b₂=a₁+a₂，可得a₂=；
同理可得：a₃=；a₄=；…
猜想a_n=；
則=n（n+1）；
令n（n+1）=2011；
解可得n≈44.3；
n=44時(shí)，=44×45=1980，
n=45時(shí)，=45×56=2070，
比較可得，比較接近2011；
故答案為44．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推公式的運(yùn)用、歸納推理的運(yùn)用；解題的關(guān)鍵在于歸納出{a_n}的通項(xiàng)公式．