Question

（本題滿分14分）如圖，在底面是正方形的四棱錐P—ABCD中，PA⊥面ABCD，

BD交AC于點E，F(xiàn)是PC中點，G為EC中點．

（1）求證：FG//平面PBD；

（2）當二面角B—PC—D的大小為時，求FG與平面PCD所成角的正切值．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1） 連接PE，G.、F為EC和PC的中點，由線面平行的判定定理，即可證明結(jié)果.（2）以AB為x軸，AD為y 軸，AP為z軸，建立如圖空間直角坐標系，設(shè)AB=1，AP=t ，即可求出平面BPC的一個法向量為，平面DPC的一個法向量為，根據(jù)二面角B—PC—D的大小為，可得｜｜=｜｜=，即可解得，即可求出FG與平面PCD所成角的正弦值．

試題解析：（1） 連接PE，G.、F為EC和PC的中點， FG//平面PBD （5分）

（2）以AB為x軸，AD為y 軸，AP為z軸，建立如圖空間直角坐標系。

設(shè)AB=1，AP=t 則,, （7分）

∴ ∴平面BPC的一個法向量為

又∴平面DPC的一個法向量為 （9分）

二面角B—PC—D的大小為，∴｜｜=｜｜=

∴ （11分）

∴ ∴FG與平面PCD所成角的正弦值， （13分）

∴ （14分）

考點：1.線面平行的判斷；2.二面角的應用．