如圖，邊長為2的正三角形ABC的兩個頂點A，B分別在x，y軸的正半軸上滑動，
AM
=2
MB
，求
OM
•
OC
的最大值是
 
．
考點：平面向量數(shù)量積的運算
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：設(shè)∠OAB=θ，θ∈(0，
π
2
)．可得A（2cosθ，0），B（0，2sinθ），C（2sin（30°+θ），2sin（60°+θ））．利用
AM
=2
MB
，可得
AM
=
2
3
AB
，
OM
=(
2
3
cosθ，
4
3
sinθ)．
于是
OM
•
OC
=
4
3
cosθsin(30°+θ)+
8
3
sinθsin(60°+θ)展開化簡即可得出．
解答： 解：設(shè)∠OAB=θ，θ∈(0，
π
2
)．
則A（2cosθ，0），B（0，2sinθ），C（2cosθ-2cos（60°+θ），2sin（60°+θ））即（2sin（30°+θ），2sin（60°+θ））．
∵
AM
=2
MB
，∴
AM
=
2
3
AB
，
∴
OM
=
OA
+
2
3
(
OB
-
OA
)=
1
3
OA
+
2
3
OB
=(
2
3
cosθ，
4
3
sinθ)．
∴
OM
•
OC
=
4
3
cosθsin(30°+θ)+
8
3
sinθsin(60°+θ)
=
3
sin2θ-
1
3
cos2θ+1
=
2
7
3
sin(2θ-φ)+1≤
2
7
3
+1，當(dāng)且僅當(dāng)sin（2θ-φ）=1時去等號．
故最大值為：1+
2
7
3
．
點評：本題考查了向量的坐標(biāo)運算、數(shù)量積運算、三角函數(shù)的化簡、正弦函數(shù)的單調(diào)性有界性等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知a＞0，b＞0，
1
2a+b
+
1
b+1
=1，則a+b的最小值是
 
．

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函數(shù)f（x）=alg（3x-2）+2恒過定點
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義運算a⊕b=
a，a≥b
b，a＜b
，則關(guān)于正實數(shù)x的不等式4⊕（x+
4
x
）＜5⊕（2x）的解集為
 
．

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用紅、黃、藍(lán)、綠、黑5種顏色給如圖的a、b、c、d四個區(qū)域染色，若相鄰的區(qū)域不能用相同的顏色，不同的染色方法的種數(shù)有
 
 種．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知實數(shù)x，y滿足
2x-y≤0
x+y-3≥0
x+2y≤6
，則z=x-y的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)z=1-i（i是虛數(shù)單位），則
2
z
+
.
z
=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

直線x+
3
y+1=0被圓C：x2+y2-2x-3=0截得的弦長為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

既在區(qū)間（0，
π
2
）上是增函數(shù)又是以π為周期的偶函數(shù)的是（　�。�
A、y=|cosx|
B、y=sin|x|
C、y=cos2x
D、y=|sinx|

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