Question

如圖，橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點為F，過點F的直線交橢圓于A，B兩點．|AF|的最大值是M，|BF|的最小值是m，滿足M•m=

3

4

a²．
（1）求該橢圓的離心率；
（2）設(shè)線段AB的中點為G，AB的垂直平分線與x軸和y軸分別交于D，E兩點，O是坐標(biāo)原點．記△GFD的面積為S₁，△OED的面積為S₂，求

2S1S2

S12+S22

的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）過點F的直線交橢圓于A，B兩點．|AF|的最大值是M=a+c，|BF|的最小值是m=a-c，結(jié)合M•m=

3

4

a²即可求出離心率；

解答： 解：（1）設(shè)F（-c，0）（c＞0），則根據(jù)橢圓性質(zhì)得M=a+c，m=a-c，而M•m=

3

4

a2，所以有a2-c2=

3

4

a2，即a²=4c²，a=2c，
因此橢圓的離心率為e=

c

a

=

1

2

．（4分）
（2）由（1）可知a=2c，b=

a2-c2

=

3

c，橢圓的方程為

x2

4c2

+

y2

3c2

=1．
根據(jù)條件直線AB的斜率一定存在且不為零，設(shè)直線AB的方程為y=k（x+c），
并設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則由

y=k(x+c) x2 4c2 + y2 3c2 =1

消去y并整理得（4k²+3）x²+8ck²x+4k²c²-12c²=0
從而有x1+x2=-

8ck2

4k2+3

，y1+y2=k(x1+x2+2c)=

6ck

4k2+3

，（6分）
所以G(-

4ck2

4k2+3

，

3ck

4k2+3

)．
因為DG⊥AB，所以

3ck 4k2+3

- 4ck2 4k2+3 -xD

•k=-1，xD=-

ck2

4k2+3

．
由Rt△FGD與Rt△EOD相似，所以

S1

S2

=

GD2

OD2

=

(- 4ck2 4k2+3 + ck2 4k2+3 )2+( 3ck 4k2+3 )2

(- ck2 4k2+3 )2

=9+

9

k2

＞9．（10分）
令

S1

S2

=t，則t＞9，從而

2S1S2

S12+S22

=

2

t+ 1 t

＜

2

9+ 1 9

=

9

41

，即

2S1S2

S12+S22

的取值范圍是(0，

9

41

)．（12分）
（2）設(shè)過焦點F的直線AB的方程為y=k（x+c），與橢圓方程聯(lián)立，進而表示出點G、點D，然后表示出面積，從而求出．

點評：本小題考查橢圓的離心率的有關(guān)運算，直線和橢圓的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生的邏輯思維能力和運算求解能力．