Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+

a

x+1

，a為常數(shù)，若a=

9

2

，求函數(shù)f（x）在（1，e）上的值域．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：對函數(shù)解析式求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上的正負，進而判斷出函數(shù)的單調(diào)新，求得函數(shù)的最大和最小值．

解答： 解：f′（x）=

1

x

-

9 2

(x+1)2

=

x2+2x+1- 9 2 x

x(x+1)2

=

(x- 5 4 )2- 9 16

x(x+1)2

，
∵x∈（1，e），
∴當1＜x＜2時f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)減，
當2＜x＜e時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)增，
故x=2時，f′（x）=0，函數(shù)f（x）取最小值，f（2）=ln2+

3

2

，
f（1）=ln1+

9

4

=

9

4

，f（e）=lne+

9 2

e+1

，f（e）＜f（1），
∴函數(shù)的最大值為

9

4

，
故函數(shù)f（x）在（1，e）上的值域為[ln2+

3

2

，

9

4

）．

點評：本題主要考查了導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用．在判斷函數(shù)單調(diào)性的問題上，對函數(shù)求導(dǎo)進行判斷是常用方法，應(yīng)熟練應(yīng)用．