Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=1，

2Sn

n

=an+1-

1

3

n2-n-

2

3

，n∈N^*．
（Ⅰ） 求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ） 證明：對一切正整數(shù)n，有

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

7

4

．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ） 利用條件變形，再寫一式，兩式相減，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）分類，放縮，再裂項求和，即可證明結(jié)論．

解答： （Ⅰ）解：∵

2Sn

n

=an+1-

1

3

n2-n-

2

3

，n∈N^*．
∴2Sn=nan+1-

1

3

n3-n2-

2

3

n=nan+1-

n(n+1)(n+2)

3

①
∴當n≥2時，2Sn=1=(n-1)an-

(n-1)n(n+1)

3

②
由①-②，得 2S_n-2S_n-1=na_n+1-（n-1）a_n-n（n+1），
∵2a_n=2S_n-2S_n-1，
∴2a_n=na_n+1-（n-1）a_n-n（n+1），
∴

an+1

n+1

-

an

n

=1，
∴數(shù)列{

an

n

}是以首項為

a1

1

=1，公差為1的等差數(shù)列．
∴

an

n

=1+1×(n-1)=n，
∴an=n2(n≥2)．
當n=1時，上式顯然成立．
∴an=n2，n∈N*；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，an=n2，n∈N*
①當n=1時，

1

a1

=1＜

7

4

，∴原不等式成立．
②當n=2時，

1

a1

+

1

a2

=1+

1

4

＜

7

4

，∴原不等式亦成立．
③當n≥3時，∵n²＞（n-1）•（n+1），∴

1

n2

＜

1

(n-1)•(n+1)

∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

＜1+

1

1×3

+

1

2×4

+…+

1

(n-2)•n

+

1

(n-1)•(n+1)

=1+

1

2

(

1

1

-

1

3

)+

1

2

(

1

2

-

1

4

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)+…+

1

2

(

1

n-2

-

1

n

)+

1

2

(

1

n-1

-

1

n+1

)
=1+

1

2

(

1

1

-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n-2

-

1

n

+

1

n-1

-

1

n+1

)
=1+

1

2

(

1

1

+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

)=

7

4

+

1

2

(-

1

n

-

1

n+1

)＜

7

4

，
∴當n≥3時，∴原不等式亦成立．
綜上，對一切正整數(shù)n，有

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

7

4

．

點評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，考查數(shù)列的通項與求和，考查裂項法，考查學生分析解決問題的能力，有難度．