Question

若雙曲線以橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的長軸的兩個端點為焦點，且經過點（4

2

，3），求雙曲線的標準方程，并求出它的離心率和漸近線方程．

Answer 1

分析：利用橢圓的三個參數的關系求出橢圓的焦點坐標，設出雙曲線的方程，將已知點的坐標代入雙曲線方程得到雙曲線的三個參數的一個關系，再利用雙曲線本身具有的關系，求出a，b，c的值，即得到雙曲線的方程，最后寫出它的離心率和漸近線方程即可．

解答：解：橢圓

x2

25

+

y2

9

=1長軸的兩個端點坐標為（-5，0），（5，0），…（1分）
所以所求雙曲線的焦點為F₁（-5，0），F₂（5，0），
設所求雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，…（2分）
∴a²+b²=25①…（3分）
又雙曲線經過點（4

2

，3），所以有

32

a2

-

9

b2

=1②…（4分）
由①②解得a²=16，b²=9                              …（8分）
∴所求雙曲線的方程為

x2

16

-

y2

9

=1．        
∵a²=16，b²=9∴c²=7                     
∴e=

c

a

=

7

4

，
漸近線方程：y=±

3

4

x                                …（12分）

點評：求圓錐曲線的方程一般利用待定系數法，要注意圓錐曲線中的三個參數關系的區(qū)別，雙曲線中有c²=a²+b²而橢圓中有a²=c²+b²