Question

直線l_n：y=x-

2n

與圓C_n：x²+y²=2a_n+n+2交于不同的兩點A_n、B_n，n∈N^*．數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=

1

4

|A_nB_n|²．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=

2n-1 (n為奇數(shù)) an (n為偶數(shù))

，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列與解析幾何的綜合,數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)直線與圓相交及勾股定理可得數(shù)列{a_n}的遞推公式，通過構造等比數(shù)列可得等比數(shù)列的通項公式，進而可得{a_n}的通項公式；
（2）由（1）可得{b_n}的通項公式，分n為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況分類討論，利用分組求和法可得答案；

解答： 解：（1）由題意可得，(

|- 2n |

2

)2+(

1

2

|AnBn|)2=2a_n+n+2，即n+a_n+1=2a_n+n+2，
所以a_n+1+2=2（a_n+2），
又a₁+2=3，所以{a_n+2}為等比數(shù)列，公比為2，首項為3，
所以a_n+2=3•2^n-1，即a_n=3•2^n-1-2；
（2）bn=

2n-1，(n為奇數(shù)) 3•2n-1-2，(n為偶數(shù))

，
當n=2k-1（k∈N₊）時，
T_n=1+3•2¹-2+5+3•2³-2+9+…=（1+5+9+…）+3（2+2³+…）-2（2k-1）
=k+

k(k-1)

2

•4+3•

2(1-4k-1)

1-4

-2（2k-1）
=2k²-5k+2•4^k-1=

1

2

n2-

3

2

n-2+2n；
當n=2k（k∈N₊）時，
T_n=1+3•2¹-2+5+3•2³-2+9+…=（1+5+9+…）+3（2+2³+…）-2•2k
=k+

k(k-1)

2

•4+3•

2(1-4k)

1-4

-4k
=2k²-5k-2+2^2k+1=

1

2

n2-

5

2

n-2+2n+1；
綜上，Tn=

1 2 n2- 3 2 n-2+2n，n為奇數(shù) 1 2 n2- 5 2 n-2+2n+1，n為偶數(shù)

．

點評：本題考查數(shù)列與解析幾何的綜合、數(shù)列求和等知識，考查等差、等比數(shù)列的求和公式，考查分類討論思想，考查學生分析解決問題的能力，難度較大．