Question

某商場對A品牌的商品進(jìn)行了市場調(diào)查，預(yù)計2012年從1月起前x個月顧客對A品牌的商品的需求總量P（x）件與月份x的近似關(guān)系是：P（x）=

1

2

x（x+1）（41-2x）（x≤12且x∈N^*）
（1）寫出第x月的需求量f（x）的表達(dá)式；
（2）若第x月的銷售量g（x）=

f(x)-21x，1≤x＜7且x∈N* x2 ex ( 1 3 x2-10x+96)，7≤x≤12且x∈N*

（單位：件），每件利潤q（x）元與月份x的近似關(guān)系為：q（x）=

10ex

x

，問：該商場銷售A品牌商品，預(yù)計第幾月的月利潤達(dá)到最大值？月利潤最大值是多少？（e⁶≈403）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由P（x）=

1

2

x（x+1）（41-2x）取x=1求出f（1），再結(jié)合f（x）=P（x）-P（x-1）求得x≥2時的f（x），則第x月的需求量f（x）的表達(dá)式可求；
（2）設(shè)月利潤為h（x），由h（x）=q（x）g（x）求得h（x）的解析式，分別求導(dǎo)后利用單調(diào)性求得函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的最大值，比較后得答案．

解答： 解：（1）當(dāng)x=1時，f（1）=P（1）=39；
當(dāng)x≥2時，f（x）=P（x）-P（x-1）=

1

2

x（x+1）（41-2x）-

1

2

（x-1）x（43-2x）=3x（14-x）．
∴f（x）=-3x²+42x（x≤12且x∈N^*）；
（2）設(shè)月利潤為h（x），則h（x）=q（x）g（x）=

30ex(7-x)，1≤x≤7且x∈N* 10 3 x3-100x2+960x，7≤x≤12且x∈N*

，
∴h′（x）=

30ex(6-x)，1≤x≤7且x∈N* 10(x-8)(x-12)，7≤x≤12且x∈N*

．
∴當(dāng)1≤x≤6時，h′（x）≥0，當(dāng)6＜x＜7時，h′（x）＜0，
∴h（x）在x∈[1，6]上單調(diào)遞增，在（6，7）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)1≤x＜7且x∈N^*時，h（x）_max=h（6）=30e⁶≈12090；
∵當(dāng)7≤x≤8時，h′（x）≥0，當(dāng)8≤x≤12時，h′（x）≤0，
∴h（x）在x∈[7，8]上單調(diào)遞增，在（8，12）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)7≤x≤12且x∈N^*時，h（x）_max=h（8）≈2987＜12090．
綜上，預(yù)計該商場第6個月的月利潤達(dá)到最大，最大利潤約為12090元．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)模型的選擇及應(yīng)用，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，訓(xùn)練了數(shù)學(xué)建模思想方法，是中檔題．