【題目】已知函數(shù).
(1)若對(duì)任意,
恒成立,求
的取值范圍;
(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)
,
,證明:
.
【答案】(1),(2)證明見解析
【解析】
(1)對(duì)任意,
恒成立,可變形為
,因此只要求得
的最大值即可,這可由導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求解;
(2)首先利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性,確定零點(diǎn)分布,不妨設(shè)
,得
,然后用分析法轉(zhuǎn)化所要證不等式
為
,由
,這時(shí)以退為進(jìn),證明
,即證
,現(xiàn)在可構(gòu)造函數(shù)
,
.證明
,這又可用導(dǎo)數(shù)證明.
(1)解:由對(duì)任意
恒成立,得
對(duì)任意
恒成立.
令,則
.
令,則
.
在上,
,
單調(diào)遞增;在
上,
,
單調(diào)遞減.
故,
則,即
的取值范圍為
.
(2)證明:設(shè),
,則
.
在上,
,
單調(diào)遞增;在
上,
,
單調(diào)遞減.
∵,
,當(dāng)
時(shí),
,且
,
∴,
.
要證,即證
.
∵,
,
在
上單調(diào)遞減,
∴只需證明.
由,只需證明
.
令,
.
,
∵,∴
,
,
∴,
∴在
上單調(diào)遞增,
∴,
即,∴
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知某校中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖所示.為了解該校中小學(xué)生的近視形成原因,用分層抽樣的方式從中抽取一個(gè)容量為50的樣本進(jìn)行調(diào)查.
(1)求樣本中高中生、初中生及小學(xué)生的人數(shù);
(2)從該校初中生和高中生中各隨機(jī)抽取1名學(xué)生,用頻率估計(jì)概率,求恰有1名學(xué)生近視的概率;
(3)假設(shè)高中生樣本中恰有5名近視學(xué)生,從高中生樣本中隨機(jī)抽取2名學(xué)生,用表示2名學(xué)生中近視的人數(shù),求隨機(jī)變量
的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓:
和定點(diǎn)
,
是圓
上任意一點(diǎn),線段
的垂直平分線交
于點(diǎn)
,設(shè)動(dòng)點(diǎn)
的軌跡為
.
(1)求的方程;
(2)過點(diǎn)作直線
與曲線
相交于
,
兩點(diǎn)(
,
不在
軸上),試問:在
軸上是否存在定點(diǎn)
,總有
?若存在,求出點(diǎn)
的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解運(yùn)動(dòng)健身減肥的效果,某健身房調(diào)查了20名肥胖者,健身之前他們的體重情況如三維餅圖(1)所示,經(jīng)過四個(gè)月的健身后,他們的體重情況如三維餅圖(2)所示.對(duì)比健身前后,關(guān)于這20名肥胖者,下面結(jié)論不正確的是( )
A.他們健身后,體重在區(qū)間[90kg,100kg)內(nèi)的人數(shù)不變
B.他們健身后,體重在區(qū)間[100kg,110kg)內(nèi)的人數(shù)減少了4人
C.他們健身后,這20位健身者體重的中位數(shù)位于[90kg,100kg)
D.他們健身后,原來體重在[110kg,120kg]內(nèi)的肥胖者體重都至少減輕了10kg
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
.證明:
(1)存在唯一x0∈(0,1),使f(x0)=0;
(2)存在唯一x1∈(1,2),使g(x1)=0,且對(duì)(1)中的x0,有x0+x1<2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和函數(shù)
的最值;
(2)已知關(guān)于的不等式
對(duì)任意的
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為
,過點(diǎn)
的直線交拋物線
于
和
兩點(diǎn).
(1)當(dāng)時(shí),求直線
的方程;
(2)若過點(diǎn)且垂直于直線
的直線
與拋物線
交于
兩點(diǎn),記
與
的面積分別為
,求
的最小值.
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