Question

如圖，已知在側(cè)棱垂直于底面三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，AB=5，BC=4，AA₁=4，點D是AB的中點．
（1）求證：AC⊥BC₁； 
（2）求證：AC₁∥平面CDB₁
（3）求三棱錐A₁-B₁CD的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由勾股定理得AC⊥BC，由CC₁⊥面ABC 得到CC₁⊥AC，從而得到AC⊥面BCC₁，故AC⊥BC₁．
（2）連接B₁C交BC₁于點E，則DE為△ABC₁的中位線，得到DE∥AC₁，從而得到AC₁∥面B₁CD．
（3）過C作CF⊥AB垂足為F，CF⊥面ABB₁A₁，面積法求CF，求出三角形DB₁A₁的面積，代入體積公式進行運算．

解答： （1）證明：在△ABC中，∵AC=3，AB=5，BC=4，
∴△ABC為直角三角形，∴AC⊥BC…（2分）
又∵CC₁⊥平面ABC，∴CC₁⊥AC，CC₁∩BC=C，
∴AC⊥平面BCC₁，∴AC⊥BC₁．                                             …（5分）
（2）證明：設(shè)B₁C與BC₁交于點E，則E為BC₁的中點，連結(jié)DE，則在△ABC₁中，DE∥AC₁，
又DE?面CDB₁，AC₁?面CDB₁，∴AC₁∥平面B₁CD．                        …（10分）
（3）解：在△ABC中，過C作CF⊥AB，F(xiàn)為垂足，
∵平面ABB₁A₁⊥平面ABC，且平面ABB₁A₁∩平面ABC=AB，∴CF⊥平面ABB₁A₁，
而CF=

AC•BC

AB

=

3×4

5

=

12

5

，
∵VA1-B1CD=VC-A1DB1，而S△DA1B1=

1

2

A1B1•AA1=5×4×

1

2

=10，
∴VA1-B1CD=

1

3

×10×

12

5

=8．                                                   …（14分）

點評：本題考查證明線線垂直、線面平行的方法，求三棱錐的體積，求點C到面A₁B₁D的距離是解題的難點．