Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=0，a₂=2，且對(duì)任意m、n∈N^*都有a_2m-1+a_2n-1=2a_m+n-1+2（m-n）²
（1）求a₃，a₅；
（2）設(shè)b_n=a_2n+1-a_2n-1（n∈N^*），求 {b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)c_n=（n∈N^*），S_n為數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和，若存在n使S_n＞M，求M的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意，令m=2，n=1，可得a₃=2a₂-a₁+2=6
再令m=3，n=1，可得a₅=2a₃-a₁+8=20（2分）
（2）當(dāng)n∈N^*時(shí)，由已知以n+2代替m可得
a_2n+3+a_2n-1=2a_2n+1+8于是[a_2（n+1）+1-a_2（n+1）-1]-（a_2n+1-a_2n-1）=8
即b_n+1-b_n=8
所以{b_n}是公差為8的等差數(shù)列（6分）
又{b_n}是首項(xiàng)為b₁=a₃-a₁=6，故b_n=8n-2（8分）
（3）由（1）（2）解答可知a_2n+=1-a_2n-1=8n-2
另由已知（令m=1）可得
a_n=-（n-1）²．那么a_n+1-a_n=-2n+1=-2n+1=2n，
故a_n=n（n-1）（12分）
故c_n=，得c_n=，
故，（14分）
當(dāng)n∈N^*時(shí)，，由題意若存在n使
則M＜1，即M的取值范圍為M＜1．（16分）
分析：（1）由題意，令m=2，n=1，可得a₃=2a₂-a₁+2=6；再令m=3，n=1，可得a₅=2a₃-a₁+8=20．
（2）當(dāng)n∈N^*時(shí)，由已知以n+2代替m可得a_2n+3+a_2n-1=2a_2n+1+8于是[a_2（n+1）+1-a_2（n+1）-1]-（a_2n+1-a_2n-1）=8
即b_n+1-b_n=8，由此能求出{b_n}的通項(xiàng)公式．
（3）由a_2n+=1-a_2n-1=8n-2，令m=1可得a_n=-（n-1）²．那么a_n+1-a_n=-2n+1=-2n+1=2n，故a_n=n（n-1），故c_n==，由此能導(dǎo)出M的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列中某項(xiàng)的求法、通項(xiàng)公式的計(jì)算和求解前n項(xiàng)和的方法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．