Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n+1=2a_n，求使不等式

a

2 1

+

a

2 2

+…+

a

2 n

＜5×2ⁿ⁺¹成立的n的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：利用a_n=s_n-s_n-1（n≥2），兩式作差求得a_n，可得{an2}是以a12=1為首項(xiàng)，公比為2²=4的等比數(shù)列，
利用等比數(shù)列求和公式求得數(shù)列{an2}的前n項(xiàng)和，解不等式即可得出結(jié)論．

解答： 解：當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=S₁+1，得a₁=1．…（2分）
由S_n+1=2a_n①
得S_n-1+1=2a_n-1（n≥2）②，
①-②，得a_n=2（a_n-a_n-1），即a_n=2a_n-1（n≥2），
∴是以a₁=1為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，…（6分）
∴{an2}是以a12=1為首項(xiàng)，公比為2²=4的等比數(shù)列，
∴a12+a22+…+an2=

1-4n

1-4

=

4n-1

3

．…（8分）
由題意，得

4n-1

3

＜5×2ⁿ⁺¹，即2ⁿ（2ⁿ-30）＜1，…（10分）
∴n的最大值為4．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用公式法求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的方法，考查利用定義證明數(shù)列是等比數(shù)列的方法，屬中檔題．