Question

設(shè), 已知函數(shù) 
(Ⅰ) 證明在區(qū)間(－1,1)內(nèi)單調(diào)遞減, 在區(qū)間(1, + ∞)內(nèi)單調(diào)遞增;
(Ⅱ) 設(shè)曲線在點處的切線相互平行, 且 證明.

Answer 1

見解析

(Ⅰ)證明：設(shè)函數(shù)，，
①，因為，所以當時，，
所以函數(shù)在區(qū)間（-1，0）內(nèi)單調(diào)遞減；
②，因為，所以當時，
；當時，，即函數(shù)在區(qū)間（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.
綜合①②及，可知函數(shù)在區(qū)間(－1,1)內(nèi)單調(diào)遞減, 在區(qū)間(1, + ∞)內(nèi)單調(diào)遞增.
(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)知，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間
內(nèi)單調(diào)遞增.因為曲線在點處的切線相互平行，從而互不相等，且.不妨設(shè)，
由==，可得，
解得，從而，
設(shè)，則，
由=，解得，所以，
設(shè)，則，因為，所以，
故=，即.
本題第（Ⅰ）問，可以分兩段來證明,都是通過導數(shù)的正負來判斷單調(diào)性；第(Ⅱ)問，由切線平行知，切線的斜率相等，然后構(gòu)造函數(shù)解決.判斷分段函數(shù)的單調(diào)性時,要分段判斷;證明不等式時,一般構(gòu)造函數(shù)解決.
【考點定位】本小題主要考查導數(shù)的運算及其幾何意義，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論思想、化歸思想、函數(shù)思想，考查綜合分析問題和解決問題的能力.