Question

已知函數f(x)=

1

x2

+|x2-a|（常數a∈R⁺）
（Ⅰ）判斷f（x）的奇偶性并說明理由；
（Ⅱ）試研究函數f（x）在定義域內的單調性，并利用單調性的定義給出證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先要考慮函數的定義域，然后利用函數奇偶性的定義即可獲得問題的解答；
（Ⅱ）首先將絕對值函數轉化為分段函數，然后分類討論不同段上的函數單調性即可，討論時用定義法即可．

解答：解：（1）定義域為：（-∞，0）∪（0，+∞）
∵f(-x)=

1

(-x)2

+|(-x)2-a|=

1

x2

+|x2-a|=f(x)，
∴f（x）是偶函數．
（2）f（x）=

1 x2 +x2-a(x≤- a 或x≥ a ) 1 x2 -x2+a(- a ＜x＜ a )

（a∈R⁺）
1⁰若x≤-

a

或x≥

a

，則f（x）=

1

x2

+x2-a，設

a

≤x1＜x2，f(x1)-f(x2)=

1

x 2 1

+

x

2 1

-

1

x 2 2

-

x

2 2

=(

x

2 2

-

x

2 1

)(

1

x 2 1 x 2 2

-1)
由

a

≤x₁＜x₂?x₁²x₂²≥a²?

1

x 2 1 x 2 2

≤

1

a2

且x₂²-x₁²＞0，
當

1

a2

＜1?a 時，f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[

a

，+∞)上是增函數；
又f（x）是偶函數，f（x）在(-∞，-

a

]上是減函數．
當

1

a2

≥1?0＜a≤1時，

a

≤x1＜x2≤1時，

1

x 2 1 x 2 2

＞1?f(x1)＞f(x2)，1≤x₁＜x₂時，

1

x 2 1 x 2 2

＜1?f(x1)＜f(x2)．
∴f（x）在[

a

，1]上是減函數，
在[1，+∞）上是增函數；
又f（x）是偶函數，在[-1，-

a

]上是增函數，
在（-∞，-1]上是減函數．
2⁰若-

a

≤x≤

a

(x≠0)，則f（x）=

1

x2

-x2+a，
設-

a

≤x1＜x2≤

a

，同理∴f（x）在(0，

a

]上是減函數，
又f（x）是偶函數，于是f（x）在[-

a

，0)上是增函數．
由1⁰2⁰知：當0＜a≤1時，f（x）在（0，1]上是減函數，
在[1，+∞）上是增函數，在（-∞，-1]上是減函數，在[-1，0）上是增函數；
當a＞1時，f（x）在(0，

a

]上是減函數，在[

a

，+∞)上是增函數，
在(-∞，-

a

]上是減函數，在[-

a

，0)上是增函數．

點評：本題考查的是函數奇偶性與單調性判斷與證明的問題．在解答的過程當中充分體現了函數奇偶性和單調性的定義、分類討論的思想以及問題轉化的能力．值得同學們體會和反思．