Question

設(shè)橢圓過M(2，)，N(，1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

(1)求橢圓E的方程；

(2)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB|的取值范圍，若不存在說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)(4分)因?yàn)闄E圓E：(a，b>0)過M(2，)，N(，1)兩點(diǎn)， 　　所以解得所以橢圓E的方程為 　　(2)假設(shè)存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且，設(shè)該圓的切線方程為解方程組得，即， 　　則△＝，即 　　 　　　　要使，需使，即，所以，所以又，所以，所以，即或，因?yàn)橹本�為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線，所以圓的半徑為，，，所求的圓為，此時(shí)圓的切線都滿足或，(3分) 　　而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿足，綜上，存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A，B，且．(1分) 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4120/0022/4ed41f8eaeaddffb049a4671d20745a5/C/Image116.gif" width=126 HEIGHT=88> 　　所以， 　　 　　， 　�、佼�(dāng)時(shí) 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4120/0022/4ed41f8eaeaddffb049a4671d20745a5/C/Image139.gif" width=105 height=41>所以， 　　所以， 　　所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取”＝”． 　　當(dāng)時(shí)，． 　　當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)，兩個(gè)交點(diǎn)為或，所以此時(shí)，(3分)