Question

如圖，已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，D為BC的中點．
（1）若AA₁⊥AD，求證：AD⊥DC₁；
（2）求證：A₁B∥平面ADC₁．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）證明AD⊥BC，AD⊥CC₁，利用線面垂直的判定定理，可得AD⊥平面BCC₁B₁，即可證明AD⊥DC₁；
（2）連結(jié)A₁C，交AC₁于點O，連結(jié)OD，則O為A₁C的中點，證明OD∥A₁B，可得A₁B∥平面ADC₁．

解答： 證明：（1）因為AB=AC，D為BC的中點，所以AD⊥BC．…（2分）
因為AA₁⊥AD，AA₁∥CC₁，所以AD⊥CC₁，…（4分）
因為CC₁∩BC=C，所以AD⊥平面BCC₁B₁，…（6分）
因為DC₁?平面BCC₁B₁，所以AD⊥DC₁  …（7分）
（2）連結(jié)A₁C，交AC₁于點O，連結(jié)OD，則O為A₁C的中點．
因為D為BC的中點，所以O(shè)D∥A₁B  …（9分）
因為OD?平面ADC₁，A₁B?平面ADC₁，…（12分）
所以A₁B∥平面ADC₁ …（14分）

點評：本題考查直線與平面平行的判定、考查線面垂直的判定定理與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．