Question

如圖，已知雙曲線(xiàn)E：的左、右焦點(diǎn)分別為
F₁（-c，0）、F₂（c，0），點(diǎn)A（c，b），B（0，b），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)OA與直線(xiàn)F₂B的交點(diǎn)在雙曲線(xiàn)E上．
（1）求雙曲線(xiàn)E的離心率；
（2）設(shè)直線(xiàn)F₁A與雙曲線(xiàn)E 交于M、N兩點(diǎn)，，，若λ+μ=4，求雙曲線(xiàn)E的方程．
（3）在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)E相交于不同的兩點(diǎn)P、Q，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）將F₂B的中點(diǎn)代入雙曲線(xiàn)E的方程可得，由此能導(dǎo)出e．
（2）由e=得，化簡(jiǎn)方程E為4x²-y²=b²，又直線(xiàn)F₁A的方程為，代入雙曲線(xiàn)E化簡(jiǎn)得（20b²-1）y²-20by+4b²=0，由此能得到所求雙曲線(xiàn)E的方程．
（3）由B（0，1），設(shè)直線(xiàn)BP的方程為y=kx+1，代入雙曲線(xiàn)E的方程4x²-y²=1，得（4-k²）x²-2kx-2=0，記P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則，由此能得到的取值范圍．
解答：解：（1）將F₂B的中點(diǎn)代入雙曲線(xiàn)E的方程可得：

則e=．
（2）由e=得，化簡(jiǎn)方程E為：
4x²-y²=b²
又直線(xiàn)F₁A的方程為，即x=，
代入雙曲線(xiàn)E化簡(jiǎn)得：
（20b²-1）y²-20by+4b²=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
∴
由題意知，，，
則=，
∴b²=1，
即b=1
故所求雙曲線(xiàn)E的方程為4x²-y²=1
（3）由（2）知B（0，1），由題意可設(shè)直線(xiàn)BP的方程為：
y=kx+1
代入雙曲線(xiàn)E的方程4x²-y²=1，化簡(jiǎn)得：
（4-k²）x²-2kx-2=0，
記P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則
∴k²＜8
，
令，則
∵0≤k²≤8
∴，
解得或m，
故所求的取值范圍為（-．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．