Question

甲、乙兩位同學從A、B、C、D…共n（n≥2，n∈N₊）所高校中，任選兩所參加自主招生考試（并且只能選兩所高校），但同學甲特別喜歡A高校，他除選A高校外，再在余下的n-1所中隨機選1所；同學乙對n所高校沒有偏愛，在n所高校中隨機選2所．若甲同學未選中D高校且乙選中D高校的概率為

3

10

．
（1）求自主招生的高校數(shù)n；
（2）記X為甲、乙兩名同學中未參加D高校自主招生考試的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）由已知得甲同學選中D高校的概率為p1=

1

n-1

，乙同學選中D高校的概率p₂=

C 1 n-1

C 2 n

=

2

n

，甲同學未選中D高校且乙同學選取中D高校的概率為p=（1-p₁）p₂=（1-

1

n-1

）×

2

n

=

3

10

，由此能求出自主招生的高校數(shù)n．
（2）X的所有可能取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學期望．

解答： 解：（1）由已知得甲同學選中D高校的概率為p1=

1

n-1

，
乙同學選中D高校的概率p₂=

C 1 n-1

C 2 n

=

2

n

，
∴甲同學未選中D高校且乙同學選取中D高校的概率為：
p=（1-p₁）p₂=（1-

1

n-1

）×

2

n

=

3

10

，
整理，得3n2 -23n+40=0，
∵n≥2，n∈N^*，解得n=5，故自主招生的高校數(shù)為5所．
（2）X的所有可能取值為0，1，2，
P（X=0）=

1

4

×

2

5

=

1

10

，
P（X=1）=(1-

1

4

)×

2

5

+

1

4

×(1-

2

5

)=

9

20

，
P（X=2）=(1-

1

4

)(1-

2

5

)=

9

20

，
∴X的分布列為：

X	0	2	3
P	1 10	9 20	9 20

EX=0×

1

10

+2×

9

20

+3×

9

20

=

27

20

．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，解題時要認真審題，是中檔題．