已知函數(shù)f(x)=ex(e為自然對(duì)數(shù)的底),g(x)=ln(f(x)+a)(a為常數(shù)),g(x)是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù).
(1)求證:f(x)≥x+1(x∈R);
(2)討論關(guān)于x的方程:lng(x)=g(x)•(x2-2ex+m)(m∈R)的根的個(gè)數(shù).
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)證明:設(shè)F(x)=f(x)-x-1,則F′(x)=ex-1,得F(x)min=F(0)=0,從而F(x)≥0,即f(x)≥x+1;
(2)由方程為lnx=x(x2-2ex+m),得
lnx
x
=x2-2ex+m,設(shè)h(x)=
lnx
x
,得h(x)≤h(e)=
1
e
;設(shè)l(x)=x2-2ex+m,則l(x)≥e2-2e2+m=m-e2,進(jìn)而得①m>e2+
1
e
時(shí),原方程無(wú)解,
②m=e2+
1
e
時(shí),方程有且只有一個(gè)根x=e,③m<e2+
1
e
時(shí),方程兩個(gè)根.
解答: (1)證明:設(shè)F(x)=f(x)-x-1,則F′(x)=ex-1,
∵x∈(-∞,0)時(shí),F(xiàn)′(x)<0,
x∈(0,+∞)時(shí),F(xiàn)′(x)>0,
∴F(x)min=F(0)=0,
∴F(x)≥0,即f(x)≥x+1;
(2)解:∵g(x)是R上的奇函數(shù),∴a=0,g(x)=x,
∴方程為lnx=x(x2-2ex+m),即
lnx
x
=x2-2ex+m,
設(shè)h(x)=
lnx
x
,則由h′(x)=
1-lnx
x2
=0,解得:x=e,
又x∈(0,e)時(shí),h′(x)>0,x∈(e,+∞)時(shí),h′(x)<0,
∴h(x)≤h(e)=
1
e
;
設(shè)l(x)=x2-2ex+m,則l(x)≥e2-2e2+m=m-e2,
∴①m>e2+
1
e
時(shí),原方程無(wú)解,
②m=e2+
1
e
時(shí),方程有且只有一個(gè)根x=e,
③m<e2+
1
e
時(shí),方程兩個(gè)根.
點(diǎn)評(píng):本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的最值問(wèn)題,考查不等式的證明,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,是一道綜合題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,多面體ABCDEFG中,F(xiàn)A⊥平面ABCD,F(xiàn)A∥BG∥DE,BG=
1
4
AF,DE=
3
4
AF,四邊形ABCD是正方形,AF=AB.
(1)求證:GC∥平面ADEF;
(2)求二面角C-GE-D余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=k(x-1)ex+x2
(Ⅰ)當(dāng)時(shí)k=-
1
e
,求函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,1)處的切線方程;
(Ⅱ)若在y軸的左側(cè),函數(shù)g(x)=x2+(k+2)x的圖象恒在f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)圖象的上方,求k的取值范圍;
(Ⅲ)當(dāng)k≤-l時(shí),求函數(shù)f(x)在[k,1]上的最小值m.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

某高校調(diào)查詢問(wèn)了56名男女大學(xué)生在課余時(shí)間是否參加運(yùn)動(dòng),得到如表所示的數(shù)據(jù).從表中數(shù)據(jù)分析,有多大把握認(rèn)為大學(xué)生的性別與參加運(yùn)動(dòng)之間有關(guān)系.
參加運(yùn)動(dòng)不參加運(yùn)動(dòng)合計(jì)
男大學(xué)生20828
女大學(xué)生121628
合計(jì)322456

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,三角形ABC中AB=3,AC=6,∠BAC=60°,D為BC中點(diǎn).
(1)試用向量
AB
AC
表示
BC
;
(2)求BC的長(zhǎng);
(3)求中線AD的長(zhǎng).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知f(x)=cos(2x-
π
3
)+sin2x-cos2x
(1)求f(x)的對(duì)稱軸及對(duì)稱中心;
(2)若f(α)=
3
5
,2α是第二象限角,求sin2α的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

證明下列等式:
(1)
cos(α-
π
2
)
sin(
2
+α)
•sin(α-2π)•cos(2π-α)=sin2α
(2)
tan(2π-α)•sin(-2π-α)•cos(6π-α)
sin(α+
2
)•cos(α+
2
)
=-tanα

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=-
2
3
,其前n項(xiàng)和Sn滿足an=Sn+
1
Sn
+2(n≥2),計(jì)算S1,S2,S3,S4,猜想Sn的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù),其n項(xiàng)和為Sn,且滿足2anSn-a
 
2
n
=1.
(1)求證:數(shù)列{
S
2
n
}為等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=
2
4S
4
n
-1
,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn,并求使Tn
1
6
(m2-3m)
對(duì)所有的n∈N*都成立的最大正整數(shù)m的值.

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