Question

設實數(shù)a＞0，b＞0，且滿足a+b=1．
（1）求alog₂a+blog₂b的最小值；
（2）設（9a）^b＞（9b）^a．

Answer 1

【答案】分析：（1）b=1-a代入所求關(guān)系式alog₂a+blog₂b，可得alog₂a+（1-a）log₂（1-a），再令f（x）=xlog₂x+（1-x）log₂（1-x）x∈（0，1），通過f′（x）即可求得f（x）_min，即alog₂a+blog₂b的最小值；
（2）可先通過分析法得到：要證（9a）^b＞（9b）^a，即證，由＜a＜b＜，再構(gòu)造函數(shù)g（x）=，x∈（，），通過g′（x）分析出g（x）在上單調(diào)遞減，從而得證結(jié)論．
解答：解：（1）b=1-a代入得alog₂a+（1-a）log₂（1-a），
設f（x）=xlog₂x+（1-x）log₂（1-x）x∈（0，1），（1分）
則f'（x）=log₂x+log₂e-log₂（1-x）-log₂e=log₂x-log₂（1-x）；（3分）
令f'（x）＞0解得，
∴f（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．        （5分）
∴即原式的最小值為-1．（7分）
（2）要證（9a）^b＞（9b）^a，即證ln（9a）^b＞ln（9b）^a
即證bln（9a）＞aln（9b），
∵a＞0，b＞0，
即證，（9分）
由已知設（10分）
則，（11分）
∵，因此3＜9x＜6，
∴1＜ln3＜ln（9x）＜ln6
∴g'（x）＜0（13分）
所以g（x）在上單調(diào)遞減，
∴g（a）＞g（b），原不等式得證．                                   （14分）
點評：本題考查利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，難點在于解題突破口的選擇--構(gòu)造函數(shù)，著重考查導數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)方面的工具作用，屬于難題．