Question

如圖，

兩島之間有一片暗礁，一艘小船于某日上午8時從島出發(fā)，以10海里/小時的速度沿

北偏東75°方向直線航行，下午1時到達處.然后以同樣的速度，沿北偏東 15°方向直線航

行，下午4時到達島.

（Ⅰ）求、兩島之間的直線距離；

（Ⅱ）求的正弦值.

 

Answer 1

【答案】

 

解（Ⅰ）在中，由已知，，  …………2分

   …………3分                    

由余弦定理，得

，

 所以.                 …………5分

故兩島之間的直線距離是海里.                        …………6分

（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理，得，    …………8分

所以.           …………11分

故的正弦值是.                                   …………12分

（由余弦定理求 ，再求出的正弦值是）

【解析】本題主要考查了利用正弦定理、余弦定理解三角形在實際問題中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是要把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，利用數(shù)學(xué)中的工具進行求解，試題的難度一般不大

（1）在△ABC中，由已知，AB=10×5=50，BC=10×3=30，及∠ABC=180°-75°+15°=120可考慮利用據(jù)余弦定理求AC

（2）在△ABC中，據(jù)正弦定理，得BC：sin∠BAC

=AC ：sin∠ABC 可求sin∠BAC