Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ，其中m為實數(shù)．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線方程為3x+3y﹣4=0，求m的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可得： 所以有： ，∴m=0．
（Ⅱ）f'（x）=x2﹣2（2m+1）x+3m（m+2）=（x﹣3m）（x﹣m﹣2）
當3m=m+2即m=1時，f'（x）=（x﹣3）2≥0，所以f（x）單調遞增；
當3m＞m+2即m＞1時，由f'（x）=（x﹣3m）（x﹣m﹣2）＞0可得x＜m+2或x＞3m；
所以此時f（x）的增區(qū)間為（﹣∞，m+2）和（3m，+∞）
當3m＜m+2即m＜1時，由f'（x）=（x﹣3m）（x﹣m﹣2）＞0可得x＜3m或x＞m+2；
所以此時f（x）的增區(qū)間為（﹣∞，3m）和（m+2，+∞）
綜上所述，當m=1時，f（x）增區(qū)間為（﹣∞，+∞）；
當m＞1時，f（x）的增區(qū)間為（﹣∞，m+2）和（3m，+∞）；
當m＜1時，f（x）的增區(qū)間為（﹣∞，3m）和（m+2，+∞）
【解析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，得到關于m的方程組，解出即可；（Ⅱ）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論m的范圍，求出函數(shù)的遞增區(qū)間即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性(一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減)．