已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,若a>b>c且f(1)=0,
(1)證明f(x)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn);
(2)證明函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)小于-
12
;
(3)若f(m)=-a,試判斷f(m+3)的符號(hào),并證明你的結(jié)論.
分析:(1)欲證證明f(x)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),只須由△>0得圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)即可;
(2)先由b=-a-c,a>b>c得a>-a-c>c且a>0,所以有a+2c<0從而得出f(-
1
2
)=
3
4
(a+2c)<0
,而拋物線f(x)開口向上,所以函數(shù)f(x)必有一個(gè)零點(diǎn)小于-
1
2

(3)先設(shè)f(x)=0的根為x1,x2,(x1<x2);由公式:|x1-x2|=
b2-4ac
|a|
及不等式的性質(zhì)得到|x1-x2|=|
c
a
-1|<3
.又f(m)=-a<0從而推得(m+3)>f(x2)=0.
解答:解:由f(1)=0得a+b+c=0,即b=-a-c
(1)證明:因?yàn)閍>b>c,所以△=b2-4ac=(-a-c)2-4ac=(a-c)2>0
所以f(x)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).
(2)證明:由b=-a-c,a>b>c得a>-a-c>c且a>0,所以有a+2c<0,(7分)
所以f(-
1
2
)=
3
4
(a+2c)<0
,而拋物線f(x)開口向上,所以函數(shù)f(x)必有一個(gè)零點(diǎn)小于-
1
2

(3)設(shè)f(x)=0的根為x1,x2,(x1<x2);
|x1-x2|=
b2-4ac
|a|
=
(-a-c)2-4ac
a
=
(
c
a
)
2
-2•
c
a
+1
=|
c
a
-1|
;
又∵0=a+b+c>a+2c?
c
a
<-
1
2
,0=a+b+c<2a+c?
c
a
>-2
,∴-2<
c
a
<-
1
2
.∴|x1-x2|=|
c
a
-1|<3

又f(m)=-a<0,∴x1<m<x2?m+3>x2?f(m+3)>f(x2)=0.
點(diǎn)評(píng):本題屬代數(shù)推理題,將二次函數(shù)、二次方程與不等式結(jié)合起來考查.探求二次函數(shù)背景下的不等式問題,實(shí)質(zhì)是將二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=x2+2(m-2)x+m-m2
(I)若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn),且滿足f(2)=0,求實(shí)數(shù)m的值.
(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間[2,+∞)上為增函數(shù),求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過點(diǎn)(0,1),且與x軸有唯一的交點(diǎn)(-1,0).
(Ⅰ)求f(x)的表達(dá)式;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)-kx,x∈[-2,2],記此函數(shù)的最小值為g(k),求g(k)的解析式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=x2-16x+q+3.
(1)若函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上存在零點(diǎn),求實(shí)數(shù)q的取值范圍;
(2)若記區(qū)間[a,b]的長度為b-a.問:是否存在常數(shù)t(t≥0),當(dāng)x∈[t,10]時(shí),f(x)的值域?yàn)閰^(qū)間D,且D的長度為12-t?請(qǐng)對(duì)你所得的結(jié)論給出證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•廣州一模)已知二次函數(shù)f(x)=x2+ax+m+1,關(guān)于x的不等式f(x)<(2m-1)x+1-m2的解集為(m,m+1),其中m為非零常數(shù).設(shè)g(x)=
f(x)x-1

(1)求a的值;
(2)k(k∈R)如何取值時(shí),函數(shù)φ(x)=g(x)-kln(x-1)存在極值點(diǎn),并求出極值點(diǎn);
(3)若m=1,且x>0,求證:[g(x+1)]n-g(xn+1)≥2n-2(n∈N*).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知二次函數(shù)f(x)的圖象與x軸的兩交點(diǎn)為(2,0),(5,0),且f(0)=10,求f(x)的解析式.
(2)已知二次函數(shù)f(x)的圖象的頂點(diǎn)是(-1,2),且經(jīng)過原點(diǎn),求f(x)的解析式.

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