Question

已知向量

a

=

3

(cosx，cosx)，

b

=(0，sinx)，

c

=(sinx，cosx)，

d

=(sinx，sinx)
（Ⅰ）當(dāng)x=

π

4

時，求向量

a

、

b

的夾角；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時，求

c

•

d

的最大值；
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)f（x）=（

a

-

b

）•（

c

+

d

），將函數(shù)f（x）的圖象按向量

m

平移得到函數(shù)g（x）的圖象，且g（x）=2sin2x+1，求|

m

|的最小值．

Answer 1

考點：數(shù)量積表示兩個向量的夾角,平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）把x=

π

4

代入可得向量

a

與

b

的坐標，可得數(shù)量積，代入夾角公式計算可得余弦值，可得夾角；（Ⅱ）由題意可得

c

•

d

的表達式，由三角函數(shù)的公式化簡，結(jié)合x的范圍可得最大值；（Ⅲ）由題意可得f（x）的表達式，設(shè)

m

=（s，t），由圖象平移的知識可得g（x）的解析式，由三角函數(shù)的知識可求最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵x=

π

4

，∴

a

=(

6

2

，

2

2

)，

b

=(0，

2

2

)，
∴

a

•

b

=(

6

2

，

2

2

)•(0，

2

2

)=

1

2

，
∴cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a || b |

=

1 2

2 • 2 2

=

1

2

∴向量

a

、

b

夾角為

π

3

；
（Ⅱ）由題意可得

c

•

d

=（sinx，cosx）•（sinx，sinx）=sin²x+sinxcosx
=

1-cos2x

2

+

sin2x

2

=

1

2

+

1

2

(sin2x-cos2x)=

1

2

+

2

2

sin(2x-

π

4

)，
∵x∈[0，

π

2

]，∴-

π

4

≤2x-

π

4

≤

3π

4

，
當(dāng)2x-

π

4

=

π

2

，即x=

3π

8

時，

c

•

d

的最大值

1+ 2

2

（Ⅲ）由題意可得f(x)=(

a

-

b

)•(

c

+

d

)=(

3

cosx，cosx-sinx)•(2sinx，sinx+cosx)
=2

3

sinxcosx+cos2x-sin2x=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)，
設(shè)

m

=（s，t），則g(x)=f(x-s)+t=2sin[2(x-s)+

π

6

]+t=2sin(2x-2s+

π

6

)+t=2sin2x+1
∴t=1，s=kπ+

π

12

(k∈Z)
易知當(dāng)k=0時，|

m

|min=

π2 144

+1

點評：本題考查平面向量的數(shù)量積和夾角，涉及三角函數(shù)的公式和最值得求解，屬中檔題．