Question

在△ABC中，a，b，c分別是角A、B、C的對(duì)邊，

m

=（b，2a-c），

n

=（2cos²

B

2

-1，cosC），且

m

∥

n

．
（1）求角B的大�。�
（2）設(shè)f（x）=cos（ωx-

B

2

）+sinωx，（ω＞0），且f（x）的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為

π

2

，求f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的定義域和值域

專題：解三角形

分析：（1）由兩向量的坐標(biāo)，及兩向量平行，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則列出關(guān)系式，整理后求出cosB的值，即可確定出B的度數(shù)；
（2）把B的度數(shù)代入f（x）解析式，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)題意確定出周期，利用周期公式求出ω的值，確定出解析式，利用正弦函數(shù)的值域確定出f（x）的最大值與最小值即可．

解答： 解：（1）由

m

=（b，2a-c），

n

=（2cos²

B

2

-1，cosC），且

m

∥

n

，得bcosC=（2a-c）cosB，
整理得：bcosC+ccosB=2acosB，
由正弦定得，得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，
整理得：sin（B+C）=2sinAcosB，
又B+C=π-A，即sin（B+C）=sinA，
∴sinA=2sinAcosB，
又sinA≠0，
∴cosB=

1

2

，
又B為三角形內(nèi)角，
∴B=

π

3

；
（2）f（x）=cos（ωx-

π

6

）+sinωx=

3

2

sinωx+

3

2

cosωx=

3

sin（ωx+

π

6

），
由已知

2π

ω

=π，即ω=2，得到f（x）=

3

sin（2x+

π

6

），
當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，得到sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
則當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

時(shí)，f（x）取得最大值

3

；當(dāng)2x+

π

6

=

7π

6

，即x=

π

2

時(shí)，f（x）取得最小值-

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．