Question

△ABC中，已知tanC=

5

2

．
（1）sin²

A+B

2

的值；
（2）若AB=2

5

，AC=6，D為AC的中點(diǎn)，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理

專題：解三角形

分析：（1）由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得

sin2C+cos2C=1 tanC= sinC cosC = 5 2

結(jié)合cosC＞0，解方程組可得cosC，由二倍角公式可得sin²

A+B

2

=

1-cos(A+B)

2

=

1+cosC

2

，代入計(jì)算可得；（2）由余弦定理可得AB²=AC²+BC²-2AC•BCcosC，代入數(shù)值可解得BC，在△BCD中由余弦定理可得所求．

解答： 解：（1）∵tanC=

5

2

，且0＜C＜π，∴cosC＞0
由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得

sin2C+cos2C=1 tanC= sinC cosC = 5 2

，
解方程組可得cosC=

2

3

，
∴sin²

A+B

2

=

1-cos(A+B)

2

=

1+cosC

2

=

5

6

（2）由余弦定理可得AB²=AC²+BC²-2AC•BCcosC，
代入數(shù)值可得（2

5

）²=6²+BC²-2×6×

2

3

BC，解得BC=4，
在△BCD中由余弦定理可得BD²=CD²+BC²-2CD•BCcosC
=3²+4²-2×3×4×

2

3

=9，∴BD=3

點(diǎn)評(píng)：本題考查解三角形，涉及余弦定理和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬中檔題．