Question

已知函數(shù).

（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（3）當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）增區(qū)間，減區(qū)間；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）將代入函數(shù)解析式，直接利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）將條件“在區(qū)間上為減函數(shù)”等價轉化為“不等式在區(qū)間上恒成立”，結合參數(shù)分離法進行求解；（3）構造新函數(shù)，將“不等式在區(qū)間上恒成立”等價轉化為“”，利用導數(shù)結合函數(shù)單調(diào)性圍繞進行求解，從而求出實數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1）當時，，

，

解得；解得，

故的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；

（2）因為函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，

所以對恒成立，

即對恒成立，；

（3）因為當時，不等式恒成立，

即恒成立，設，

只需即可

由，

①當時，，

當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故成立；

②當時，令，因為，所以解得，

（i）當，即時，在區(qū)間上，

則函數(shù)在上單調(diào)遞增，故在上無最大值，不合題設；

（ii）當時，即時，在區(qū)間上；在區(qū)間上．

函數(shù)在上單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，同樣在無最大值，不滿足條件；

③當時，由，故，，

故函數(shù)在上單調(diào)遞減，故成立

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.

考點：1.函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)；2.分類討論；3.參數(shù)分離法