Question

在等比數(shù)列{a_n}中，a_n＞0（n∈N^*），且a₁a₃=4，a₃+1是a₂和a₄的等差中項(xiàng)．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n+1+log₂a_n（n=1，2，3…），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

解：（I）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q．
由a₁a₃=4可得a₂²=4，（1分）
因?yàn)閍_n＞0，所以a₂=2（2分）
依題意有a₂+a₄=2（a₃+1），得2a₃=a₄=a₃q（3分）
因?yàn)閍₃＞0，所以，q=2..（4分）
所以數(shù)列{a_n}通項(xiàng)為a_n=2^n-1（6分）
（II）b_n=a_n+1+log₂a_n=2ⁿ+n-1（18分）
可得（12分）
=（13分）
分析：（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，設(shè)出公比為q，由a₁a₃=4，a₃+1是a₂和a₄的等差中項(xiàng)，這兩個(gè)方程聯(lián)立即可求出首項(xiàng)與公比，通項(xiàng)易求．
（II）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=a_n+1+log₂a_n（n=1，2，3…），由（I）知求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n要用分組求和的技巧．
點(diǎn)評：本題考點(diǎn)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的性質(zhì)以及分組求和的技巧，以及根據(jù)題設(shè)條件選擇方法的能力．