Question

設(shè)x，y滿足約束條件

x≥-3 y≥-4 -4x+3y≤12 4x+3y≤36

（1）求目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y的最小值與最大值．
（2）求目標(biāo)函數(shù)z=-4x+3y-24的最小值與最大值．

Answer 1

（1）作出可行域（如圖A陰影部分）．
令z=0，作直線l：2x+3y=0．
當(dāng)把直線l向下平移時(shí)，所對(duì)應(yīng)的z=2x+3y的值隨之減小，所以，直線經(jīng)過(guò)可行域的頂點(diǎn)B時(shí)，z=2x+3y取得最小值．
從圖中可以看出，頂點(diǎn)B是直線x=-3與直線y=-4的交點(diǎn)，其坐標(biāo)為（-3，-4）；
當(dāng)把l向上平移時(shí)，所對(duì)應(yīng)的z=2x+3y的值隨之增大，所以直線經(jīng)過(guò)可行域的頂點(diǎn)D時(shí)，z=2x+3y取得最大值．
頂點(diǎn)D是直線-4x+3y=12與直線4x+3y=36的交點(diǎn)，
解方程組

-4x+3y=12 4x+3y=36

，可以求得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，8）．
所以z_min=2×（-3）+3×（-4）=-18，z_max=2×3+4×8=38．
（2）可行域同（1）（如圖B陰影部分）．
作直線l₀：-4x+3y=0，把直線l₀向下平移時(shí)，
所對(duì)應(yīng)的z=-4x+3y的值隨之減小，即z=-4x+3y-24的值隨之減小，
從圖B可以看出，直線經(jīng)過(guò)可行域頂點(diǎn)C時(shí)，z=-4x+3y-24取得最小值．
頂點(diǎn)C是直線4x+3y=36與直線y=-4的交點(diǎn)，
解方程組

y=-4 4x+3y=36

得到頂點(diǎn)C的坐標(biāo)（12，-4），
代入目標(biāo)函數(shù)z=-4x+3y-24，得z_min=-4×12+3×（-4）-24=-84．
由于直線l₀平行于直線-4x+3y=12，
因此當(dāng)把直線l₀向上平移到l₁時(shí)，l₁與可行域的交點(diǎn)不止一個(gè)，
而是線段AD上的所有點(diǎn)．此時(shí)z_max=12-24=-12．