Question

已知f（x+1）=

2f(x)

f(x)+2

，f（1）=1，（x∈N^*），猜想f（x）的表達(dá)式為（　�。�

• A、f（x）=

  4

  2x+2

• B、f（x）=

  2

  x+1

• C、f（x）=

  1

  x+1

• D、f（x）=

  2

  2x+1

Answer 1

分析：把f（x+1）=

2f(x)

f(x)+2

取倒數(shù)得

1

f(x+1)

=

f(x)+2

2f(x)

=

1

2

+

1

f(x)

，根據(jù)等差數(shù)列的定義，可知數(shù)列{

1

f(x)

}是以

1

f(1)

= 1為首項(xiàng)，

1

2

為公差的等差數(shù)列，從而可求得f（x）的表達(dá)式．

解答：解：∵f（x+1）=

2f(x)

f(x)+2

，f（1）=1，（x∈N^*），
∴

1

f(x+1)

=

f(x)+2

2f(x)

=

1

2

+

1

f(x)

．
∴數(shù)列{

1

f(x)

}是以

1

f(1)

= 1為首項(xiàng)，

1

2

為公差的等差數(shù)列．
∴

1

f(x)

=1+

1

2

(x-1)=

x+1

2

，
∴f（x）=

2

x+1

，
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查抽象函數(shù)求解析式，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為數(shù)列研究數(shù)列的通項(xiàng)，考查靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問題的能力和運(yùn)算能力，知識(shí)的遷移能力，屬中檔題．