已知中心在原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,離心率為的橢圓過點(diǎn)
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)不過原點(diǎn)O的直線與該橢圓交于P,Q兩點(diǎn),滿足直線
的斜率依次成等比數(shù)列,
求面積的取值范圍.
(1) ;(2)
.
【解析】
試題分析:(1)先設(shè)出橢圓方程為,再根據(jù)條件離心率為
及橢圓上的點(diǎn)
,代入即可得到橢圓方程;(2)先設(shè)出直線
方程
及
,然后聯(lián)立橢圓方程得到
及
.再由直線
的斜率依次成等比數(shù)列得到
,由
得到
.代入
中及直線
的斜率存在得到
,且
,然后由點(diǎn)到直線的距離公式及兩點(diǎn)間距離公式得到
面積
.最后由基本不等式得到
,從而得到
面積的取值范圍.
試題解析:(1) 由題意可設(shè)橢圓方程為,則
(其中
,
),且
,故
.
所以橢圓的方程為.
(2)由題意可知,直線的斜率存在且不為0.故可設(shè)直線
:
,
設(shè),
由,消去
得
,
則,
且,
故,
因?yàn)橹本的斜率依次成等比數(shù)列,
所以,即
.
又,所以
,即
.
由于直線的斜率存在,且
,得
,且
,
設(shè)為點(diǎn)
到直線
的距離,則
,
,
所以,
故面積的取值范圍為
.
考點(diǎn):1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì);2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系;3.點(diǎn)到直線的距離公式;4.基本不等式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:山東省濟(jì)寧市2012屆高二下學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型:解答題
(本小題滿分14分) 已知在平面直角坐標(biāo)系xoy中的一個(gè)橢圓,它的中心在原
點(diǎn),左焦
(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),求線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程;
(3)過原點(diǎn)O的直線交橢圓于點(diǎn)B、C,求△ABC面積的最大值。
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